PDF《电动力学》

1 ρ ??φ) +? ez ?zφ ] = ?(ρ?ρφ) ・ ? eρ ρ + ?(

1 ρ ??φ) ・? e? + ?(?zφ) ・? ez =

1 ρ ?ρ(ρ?ρφ) +

1 ρ2 ?2 ?φ + ?2 z φ

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33 所以,在圆柱坐标系中,Laplace 方程的显示表达式是:

1 ρ ?ρ(ρ?ρφ) +

1 ρ2 ?2 ?φ + ?2 z φ =

0 若静电势分布与 z 坐标无关,则上式简化为:

1 ρ ? ?ρ ( ρ ?φ ?ρ ) +

1 ρ2 ?2φ ??2 =

0 (以下仅考虑此情形.) 按照分离变量法的精神,设其具有如下因子化形式的特解: φ(ρ, ?) = R(ρ)Φ(?) 代入到简化版的 Laplace 方程中,可以将其化为: ρ R d dρ ( ρ dR dρ ) = ?

1 Φ d2Φ d?2

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33 因此存在实参数 m2,它既不依赖于 ρ 也与 ? 无关,使得: ρ d dρ ( ρ dR dρ ) = m2 R, d2Φ d?2 = ?m2 Φ. 若m=0,则以上二常微分方程变为: ρ dR dρ = 常数, d2Φ d?2 = 0. 注意到上式中的第一个方程可以等价地写作, dR d(ln ρ) = 常数 于是,这两个常微分方程的通解分别是: R0 = a0 + b0 ln ρ, Φ0 = c0 + d0?.

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33 轴对称情形下 ?2 φ =

0 在柱坐标系中的通解: 若m?= 0, 角函数 Φ(?) 满足的方程及其通解是: d2Φ d?2 + m2 Φ = 0, ? Φm(?) = cm cos(m?) + dm sin(m?) 而径向方程化为: ρ2 d2R dρ2 + ρ dR dρ ? m2 R = 0. 以R=cργ 作为试探解代入,可得 γ = ±m. 所以,径向静电 势R(ρ) 的通解是: Rm(ρ) = amρm + bmρ?m 我们的结论是:若静电势的分布与场点的 Z 坐标无关 (轴对称), 则Laplace 方程 ?2φ =

0 在圆柱坐标系中的一般解为, φ(ρ, ?) = (a0 + b0 ln ρ)(c0 + d0?) + ∑ m?=0 ( amρm + bmρ?m ) [ cm cos(m?) + dm sin(m?) ]

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33 例:半径为 a 的无限长导体圆柱置于均匀外电场 ? E0 中,该电场 的场强矢量与圆柱轴线垂直. 设单位长度圆柱所带电荷为 λ,柱 外是真空. 求柱外空间的静电势分布. 解 :如图示, 此问题中的电势仅 与ρ, ? 有关,属于二维问题. 注 意到极角 ? 在0?2π 区间变化, 电势的单值性要求 φ(ρ, ?) = φ(ρ, ? + 2π) 意味着 m 必须为整数. 进一步, 若m=0,还需令 d0 =

0 才能保 证电势的单值性. 所以,柱外空间静电势的一般解是: φ = c′ ln ρ + +∞ ∑ m=1 ( amρm + bm ρm ) [ cm cos(m?) + dm sin(m?) ]

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33 现在使用边界条件确定系数. 首先考虑 ρ → ∞ 时的边界条件. 若ρ趋于无穷大,带电导体圆 柱就表现为一根无限长的带电直线. 于是, ? E ρ→∞ ≈ λ 2π?0 ρ ? eρ + E0 ? ex

1 为了把此边界条件与上述静电势的通解比较,注意到在柱坐 标系中, ? =? eρ?ρ + ? e? ρ ?? +? ez?z, ? ? eρ = ?ρ, ? e? ρ = ??. 从而: ? eρ ρ =

1 ρ ?ρ = ?(ln ρ) 此外,按照柱坐标系与直角坐标系基矢之间的联系, ? eρ = cos ?? ex + sin ?? ey, ? e? = ?? eρ ?? = ? sin ?? ex + cos ?? ey

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33 我们有: ? ex = ? eρ cos ? ?? e? sin ? = cos ?? eρ ? ρ sin ? ? e? ρ = cos ? ?ρ ? ρ sin ? ?? = cos ? ?ρ + ρ?(cos ?) = ?(ρ cos ?) 所以, ? E ρ→∞ ≈ ? [ λ 2π?0 ln ρ + E0ρ cos ? ] 根据 ? E = ??φ 可知,静电势在 ρ 趋于无穷远情形下需要满足的 边界条件是: φ ρ→∞ ≈ ? λ 2π?0 ln ρ ? E0ρ cos ?

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33 比较知: c′ = ? λ 2π?0 , amcm = ?E0δm1, amdm =

0 所以,球外空间静电势的表达式简化为: φ(ρ, ?) = ? λ 2π?0 ln ρ?E0ρ cos ?+ +∞ ∑ m=1 bm ρm [cm cos(m?)+dm sin(m?)] 在静电平衡状态下,导体是等势体. 所以, φ(ρ, ?) ρ=a = 常数 ? bmcm = E0a2 δm1, bmdm =

0 于是,本问题中静电势分布的最终表达式为: φ(ρ, ?) = ? λ 2π?0 ln ρ ? E0ρ cos ? + E0 a2 ρ cos ?