PDF《实验数据处理方法》

3、最小方差和有效性 估计值 是随机变量,服从一定的分布,好的估计式给出的估 计值的方差应尽可能地小. 假定: (1)对所有的?,L(x| ?)对?的

一、二阶导数存在;

(2)变量x的定义域与?无关;

则由估计式得到的估计值的方差存在着一个下限 设t是?(?)的估计式, ?(?)为 ?的函数,估计值的偏差为b(?) 估计式t的方差V(t)满足下列Cramer-Rao不等式: ?最小方差限(Minimum Variance Bound, MVB) 11.1 参数估计的基本概念 有效估计式:方差等于最小方差限的估计式 t为有效估计式的充分必要条件: 在实际应用中,有效估计式只是在有限的几类参数估计问 题中存在. 例如:泊松分布样本的样本平均值是泊松总体平均值的有 效估计式

4、充分性(Sufficiency) 设t是参数?的估计式,如果测量量中所包含的有关?的信息都包 含在t内,则称t为?的充分估计式 11.1 参数估计的基本概念 充分估计式的存在有利于数据的浓缩(Data Reduction): t中所包含的有关?的信息与原始数据中的一样多;

或者: 任何其它的原始数据的函数都给不出更多的有关参数?的信 息R.A.Fisher的信息的定义: 由观测量x给出的有关未知参数?的信息量的定义: 如果?是k维的 根据此定义,若t为?的充分估计式,则It(?)=Ix(?) 11.1 参数估计的基本概念 t 是参数?的充分估计式的充分必要条件:似然函数L(x| ?)可分 解为如下的形式: 其中: i) H(x)与参数?无关;

ii) G(t| ?)是估计式t的函数,表示在?一定的条件下t得pdf 可证:有效估计式总是具有充分性 注:充分统计量只对某些特殊类型的pdf存在;

如果f(x, ?)为 指数形式: 则充分统计量t一定存在,且11.1 参数估计的基本概念 例:在?2已知的情况下,样本平均值 是正态分布N(?, ?2)中?的 充分估计式 第十一章 参数估计 (Parameter estimation) 11.2 参数的区间估计 区间估计的目的: 找出未知参数?的一个变化范围 使得?的真值落入该范围的概率为?

一、区间估计的基本概念

1、置信区间(Confidence Interval) 若参数?的真值落入闭区间[?a, ?b]内的概率为?,则称该区间为 参数?的100?%置信区间 ?:置信系数(置信水平) ?a, ?b :置信限(Confidence Limits) 在实验上,置信区间对应于?的估计值的误差 11.2 参数的区间估计 特性: 1) 是随机的:由两个容量相同的样本得到的置信区间一般 是不同的 2) 置信区间可能包含?的真值,也可能不包含;

对于一个特 定样本 ?反映了不等式 的可靠性 3) 两难性(Dilemma): ?b- ?a大,?大,但参数?的不确定性大;

?b- ?a小,?小,但对参数?的确定具有较高的精度;

实验上一般取?=68.3%或95.5%,分别对应一个和二个标 准偏差的置信区间;

11.2 参数的区间估计

2、区间估计的基本方法 区间估计就是:给定置信系数?,根据参数?的分布,求出置 信区间 设统计量t是参数?的估计式,t的pdf为f(t) [?a, ?b]即为欲求的置信区间 1) 如果f(t)与?无关,则可通过求解上述积分方程求出?a和?b 2) 如果f(t)与?有关,则上式中的积分将无法计算 z=z(t, ?) ?pdf f(z) 与?无关 11.2 参数的区间估计

二、正态分布的区间估计 设x1,x2,…,xn是正态分布N(?, ?2)的样本 样本平均值: 样本方差: ? ?的估计式,服从N(?, ?2/n) ? ?2的估计式,变量 服从?2(n-1)分布

1、 ?的置信区间: 1) ?2已知的情况 统计量 的pdf N(?, ?2/n)与?有关 ?N(0,1),与?无关 y?[a,b]的概率 取a=-b,?a的值, 得?的置信水平为?的置信区间: 11.2 参数的区间估计 例:?=0.954,a=2? 2) ?2未知的情况 服从N(0,1) 服从?2(n-1) 两个量是相互独立的,由这两个量可构造出变量t t满足自由度为(n-1)的t-分布:f(t;