PDF《三维介观超导环的涡旋结构 史良马 周明健 张晴晴 张宏彬》

2 理论模型 在柱坐标系中, 我们考虑在圆环电流产生 的磁场作用下的一个三维介观超导圆环系统如 图1所示. 按照Ginzburg-Landan (G-L)理论 [23] , 超导系 统在接近临界温度 Tc 的自由能 Fs 可以通过序参量 ψ(r)来展开: ? 国家自然科学基金 (批准号: 11742063) 和安徽省高校省级科学研究重点项目 (批准号: KJ2012A203) 资助的课题. ? 通信作者. E-mail: [email protected] ?

2016 中国物理学会 Chinese Physical Society http://wulixb.iphy.ac.cn 047501-1 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No.

4 (2016)

047501 Fs ? Fn = ∫ [ α(T)|ψ|2 +

1 2 β(T)|ψ|4 +

2 2m? ( ? ? i 2π Φ0 A ) ψ

2 ] dV, (1) 其中, Fn 为正常态的自由能;

α(T) <

0, β(T) >

0 是温度T的函数;

m? 为Cooper 对的质量;

为Planck 常数;

Φ0 = hc/2e 为磁通量子;

A 为矢势, ? * A = H. 我们选择在圆环电流产生磁场的作 用下, 考察三维介观超导圆环内的涡旋结构. 圆环 电流产生的矢势A = (0, A?, 0), 其中 A? = Ia c ∫ 2π

0 cos ?′ d?′ √ ρ2 + (z ? z0)2 + a2 ? 2ρa cos ?′ , (2) 上式可以用椭圆积分表示 [24] : A? = 2m πa2ρ [ ρ2 + a2 + (z ? z0)2 √ (ρ + a)2 + (z ? z0)2 K(k) + √ (ρ + a)2 + (z ? z0)2E(k) ] , (3) 其中m=Iπa2 /c 为圆环电流产生的磁矩,以m0 = c 2e ξ(T)2 = Hc2ξ(T)2 为单位, K(k), E(k) 分别为第一椭圆积分和第二椭圆积分, k = √ 4ρa (ρ + a)2 + (z ? z0)2 . 图1在圆环电流产生的磁场作用下的三维介观超导圆环 Fig. 1. Three-dimensional mesoscopic superconduct- ing ring within the ?eld of circular electric current. 我们以相干长度 ξ = / √ 2m?[?α(T)] 为长 度单位, 以c/2eξ = Φ0/2πξ 为矢势单位, 以Hc2 = c /2eξ2 为磁场的单位, 以ψ0 = √ ?α(T)/β 为序参量单位, 以F0 = α(T)2 /β 为自由能的单位, 则得到无量纲的自由能: F = ∫ dV { ? |ψ|2 +

1 2 |ψ|4 + |(? ? iA)ψ|2 } , (4) 其中 Fn = 0, 积分限制在圆环内. 不考虑磁场的屏 蔽效应. 自由能 (4) 式通过对序参量 ψ(r) 变分取最 小值, 得到G-L第一方程与边界条件可以写为 ?(? ? iA)2 ψ ? ψ + |ψ|

2 ψ = 0, (5) n ・ (? ? iA)ψ |on S = 0, (6) 其中边界S 满足(ρ ? ρ0)2 + z2 = r2 . 我们定义一个线性算符 ? L: ? L = ?(? ? iA)2 ? 1, (7) 则方程(5)改写为 ? Lψ = ? |ψ|

2 ψ. (8) 由于序参量ψ(r)具有轴心对称性, 可以表示为 ψ(ρ, ?, z) = eiL? ψ(ρ, z), (9) 则(7)式的算符就变为 ? L = ?

1 ρ ? ?ρ ( ρ ? ?ρ ) ? ?2 ?z2 + (L ρ ? A? )2 ? 1. (10) (4)式的自由能就可以化为 F = 2π ∫ r ?r dz ∫ ρ0+ √ r2?z2 ρ0? √ r2?z2 ρdρ ( ψ? ? Lψ +

1 2 |ψ|

4 ) . (11) 算符 ? L的本征方程为 ? LψL,n(ρ, z) = ΛL,nψL,n(ρ, z), (12) 其中 L 是涡旋数;

n = 0, 1, 2,表示同一个涡旋 数下的不同态. ΛL,n 为对应涡旋数 L、 环半径 ρ 和 环身半径r 的本征值. 我们限制n = 0, 因为这些态 能给出主要的涡旋分布, 所以省去 n. ψL(ρ, z) 就 表示ψL,n=0(ρ, z). 同样, ΛL 表示ΛL,n=0. 在边界条件 (6) 下, 通过有限差分的方法可以 数值求解本征方程 (12) 的解. G-L 第一方程 (5) 的 解一般可由这方程的本征函数来构成, ψ(ρ, ?, z) = N ∑ L CL eiL? ψL(ρ, z), (13) 其中 N 是最大的涡旋数. 将(13) 式代入自由能表 达式(11)可以给出含复系数{CL}的自由能F. F =

2 N ∑ L=0 ΛLC2 LBL + N ∑ L=0 C4 LAL +

4 N ∑ L=0 N ∑ L′>

L C2 LC2 L′ ALL′ , (14) 其中 AL = 2π ∫ r ?r ψL(ρ, z)4 dz ∫ ρ0+ √ r2?z2 ρ0? √ r2?z2 ρdρ, 047501-2 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No.