PDF《基于 M orlet小波核多类支持向量机的故障诊断》

6 ] .在 许多应用领域 , SVM 表现出了比传统学习机器更 优秀的分类能力和泛化性能 ,被公认为是人工神 经网络的替代方法.因此 ,将小波分析和 SVM 结?1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 周建萍 ,等 基于 Morlet小波核多类支持向量机的故障诊断

77 (总953) 合起来进行研究具有重要意义.正如小波分析和 神经网络的结合一样 ,小波分析和 SVM 结合也有 两种方法.一种方法是把小波作为预处理工具 , 如特征提取、 维数约减和数据去噪等 ,此方法中的 小波只是 SVM分类中的辅助手段而已 [

72 9 ] .另一 种方法引入小波核函数来构造 SVM,将小波分析 和SVM二者的优势互补 ,得到一种称为小波支持 向量机 (W avelet Support VectorMachines,W SVM ) 新的机器学习方法 [

102 12 ] .本文采用 Morlet小波 基函数来构造 SVM的核函数 ,由一对一算法最后 得到 Morlet小波核多类支持向量机 ,并将其应用 于电厂汽轮发电机组的故障诊断 ,仿真结果表明 它除了具有一般 SVM 的一切优点外 ,还能消除数 据的高频干扰 ,具备良好的抗噪能力.

2 SVM 理论及其核函数 2.

1 SVM 理论 SVM算法采用了一种核函数映射方法 ,其基 本思想就是通过一个非线性映射 ,把输入空间的 数据映射到一个高维特征空间中去 ,在这一高维 空间中样本是线性可分的 [

6 ] .给定一数据点集 G = { ( xi , di ) } n i =

1 ,其中 xi 是输入向量 , di 是期望 值,n是数据点的总数. 对模式识别问题 , SVM 需求解下式的最大 值:Q(a) = ∑ n i =1 ai -

1 2 ∑ n i, j =1 ai aj yi yj K ( xi , xj ) (1) 约束条件是 : ∑ n i =1 ai yi = 0, ai ≥ 0, i = 1, 2, …, n (2) 得到的最优分类函数 : f ( x) = sgn{ ∑ n i =1 ai yi K ( xi , x) + b} (3) 其中 , ai 为对应的最优解 , b是分类阈值. 对于支持向量机的分类问题 ,核函数的选择 一直是人们所关注的 ,直接影响到分类精度. 2.

2 支持向量核函数的条件 支持向量核函数可以是特征空间中的点积形 式 ,如 k ( x, x′ ) = k ( <

x, x′ >

) ,也可以是平移不 变形式 ,如k(x, x′ ) = k ( x - x′ ) [

13 ] .实际上 ,一个 函数只要满足 Mercer条件 ,这个函数就是一个可 容许的支持向量核函数. 定理

1 [

14 ] L2 (R)下的对称函数 k ( x, x′ )为特征空 间中内积的充分必要条件是 ,对于使得 ∫ R d g

2 (ξ ) d ξ <

∞的所有 g≠0,如下条件成立 : ∫ ∫ R d R d k ( x, x′ ) g ( x) g ( x′ ) dxdx′ ≥

0 (4) 该定理提供了判断和构建核函数的简单方 法.对于平移不变核函数 ,很难将其分解为两个 相同函数的点积形式 ,因此由以下定理给出平移 不变核函数的充分必要条件 : 定理2[14,

15 ] 平移不变核函数k(x,x′ ) = k ( x - x)是一个允许支持向量核 ,当且仅当 k ( x) 的傅里叶变换 F [ k (ω) ] = (2 π) - d /2 ∫ R d exp ( - j ωx) k ( x) dx ≥

0 (5) 成立. 有了式 (4) 、 式(5)这两个判别条件 ,就可以 构造容许 SVM 核函数了.下面就来讨论由小波 基构成的 SVM核函数.

3 小波支持向量机 (W SVM ) 3.

1 小波核函数 若小波函数 ψ ( x ) 满足ψ(x)∈L2 ( R ) | L1 (R ) , L1 (R )为一次可积空间 ,且ψ(0) = 0,则按 如下方式生成的函数族 ψa, b ( x)是连续小波 [

16 ] : ψa, b ( x) = ( a) -

1 /2 ψ( x - b a ) (6) 式中 , b∈R, a ≥0;

a, b分别为伸缩、 平移尺度因 子.ψ( x)为母小波.小波变换的基本思想是利 用一簇小波的线性组合实现任意函数 f ( x)的表 示.若一维母小波函数为ψ( x) ,则利用张量积理 论[15 ] ,可分离的 d维小波函数的特殊情况可以写 成ψd ( x) = ∏ d i =1 ψ( xi ) (7) 构造如下平移不变小波核函数 : k ( x, x′ ) = k ( x - x′ ) = ∏ d i =1 ψ( xi - x′ i ai ) (8) 其中 ai >