PDF《第四章 热传导方程》

第四章 热传导方程 关于函数u = u(t, x1, x2,xn)的热传导方程具有下述形式 ut = k u 其中k是热传导系数,是一个正常数.

当n = 1时,导热的绝缘导线中的温度分布满足此 方程;

当n = 3时,导热介质中的温度满足上述方程.此外,在描述扩散过程时,也会 出现同类型的方程.本章我们将介绍这类最典型的抛物方程的一些基本概念、方法和 结果.在

第一节中,我们以n = 3为例介绍热传导方程的导出以及相应的定解条件.在

第二节中我们介绍求解热传导方程的Cauchy 问题(也称初值问题)的Fourier变换法.在

第三节中我们介绍求解热传导方程的初边值问题的分离变量法.在

第四节中我们着重 介绍热传导方程的极值原理以及定解问题解的唯一性和稳定性.在

第五节中我们介绍 了热传导方程的Li-Yau Hanarck 不等式.该不等式在几何分析中具有重要作用.第六 节讨论了当时间t趋于无穷时热传导方程初边值问题及Cauchy问题解的渐近性态. 本章中的讨论仅限于对一个空间变量的方程进行,对于多个空间变量的情形, 可以进行类似的讨论,有兴趣的读者可以参看F. John编著的《Partial Di?erential Equations》, Springer-Verlag, 1982. § 1. 热传导方程的导出及其定解条件 本节我们将考察热传导方程的导出及其相应的定解条件. 1.1 方程的导出

一、热传导方程 考察空间某介质D的热传导问题.以函数u(t, x, y, z)表示介质D在位置(x, y, z)及时 刻t的温度. 依据传热学中的Fourier 实验定律,介质在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无 穷小面积dS的热量dQ与介质温度沿曲面dS法线方向的方向导数 ?u ?n 成正比,即dQ = ?k(x, y, z) ?u ?n dSdt, (1.1) 其中k(x, y, z)称为介质在点(x, y, z)处的热传导系数,它取正值.(1.1)式中的负号是因 为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧,因此,dQ应和 ?u ?n 异号.

1 在介质D内任取一闭曲面S ,它所包围的区域记为?,由(1.1)式,从时刻t1到t2流进 此曲面的全部热量为 Q = t2 t1 S k(x, y, z) ?u ?n dS dt, (1.2) 其中 ?u ?n 表示u沿S 上单位外法线方向n的方向导数. 流入的热量使介质内部温度发生变化,在时间间隔(t1, t2)中介质温度从u(t1, x, y, z)变 化到u(t2, x, y, z),它所应该吸收的热量是 ? ν(x, y, z)ρ(x, y, z)[u(t2, x, y, z) ? u(t1, x, y, z)]dxdydz, 其中ν为介质的比热,ρ为密度.因此就成立 t2 t1 S k ?u ?n dSdt = ? νρ[u(t2, x, y, z) ? u(t1, x, y, z)]dxdydz. (1.3) 假设函数u关于变量x, y, z具有二阶连续偏导数,关于t具有一阶连续偏导数,利用Green公式,可以把(1.3)式写成 t2 t1 ? ? ?x k ?u ?x + ? ?y k ?u ?y + ? ?z k ?u ?z dxdydzdt = ? νρ t2 t1 ?u ?t dt dxdydz, 交换积分顺序得到 t2 t1 ? νρ ?u ?t ? ? ?x k ?u ?x ? ? ?y k ?u ?y ? ? ?z k ?u ?z dxdydzdt = 0. (1.4) 由于t1,t2与区域?都是任意的,于是 νρ ?u ?t = ? ?x k ?u ?x + ? ?y k ?u ?y + ? ?z k ?u ?z . (1.5) (1.5)式称为非均匀的各向同性介质的::: 热::: 传:: 导::: 方::: 程.如果介质是均匀的,此时k,ν及ρ均 为常数,记k/νρ = c2 ,即得 ?u ?t = c2 ?2 u ?x2 + ?2 u ?y2 + ?2 u ?z2 . (1.6) 如果所考察的介质内部有热源(例如介质中通有电流,或有化学反应等),则在热传 导方程(1.5)的推导中还需要考虑热源的影响.若设在单位时间内单位体积中所产生的

2 热量为F(t, x, y, z),则此时热平衡方程为 t2 t1 S k ?u ?n dSdt + t2 t1 ? F(t, x, y, z)dxdydzdt = ? νρ[u(t2, x, y, z) ? u(t1, x, y, z)]dxdydz. 于是,相应于(1.5)的热传导方程应改为 νρ ?u ?t = ? ?x k ?u ?x + ? ?y k ?u ?y + ? ?z k ?u ?z + F(t, x, y, z). (1.7) 相应地,此时方程(1.6)为?u ?t = c2 ?2 u ?x2 + ?2 u ?y2 + ?2 u ?z2 + f(t, x, y, z), (1.8) 其中 f(t, x, y, z) = F(t, x, y, z) νρ . (1.9) (1.6)称为 :: 齐::: 次:: 热::: 传::: 导:: 方::: 程,而(1.8)称为:: 非::: 齐:: 次::: 热::: 传:: 导::: 方::: 程.