PDF《2018 年北京市朝阳区高三二模数学（文）考试逐题解析》

3400 3300

3600 3600

3700 4200

4400 3700

4200 4200 (Ⅰ)根据表中数据写出这

10 年内栽种银杏数量的中位数,并计算 这10 年栽种银杏数量的平均数;

(Ⅱ)从统计的数据中,在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于

300 株的年份中,任意抽取

2 年,恰有

1 年栽种侧柏的数量比银 杏数量多的概率. 北京新东方优能中学&

优能

1 对1&

新东方在线&

东方优播联合出品

14 【解析】 解:(Ⅰ)这10 年栽种银杏数量从小到大排列为: 3300,3400,3600,3600,3700,3700,4200,4200,4200,4400 中位数为

3700 平均数为

3830 (Ⅱ)栽种侧柏与银杏数量之差绝对值不小于

300 株的年份有: 2009,2010,2011,2013,2014 共5年任意抽取

2 年的基本事件如下: (2009,2010),(2009,2011),(2009,2013),(2009,2014) (2010,2011),(2010,2013),(2010,2014) (2011,2013),(2011,2014) (2013,2014) 共10 种情况 恰有

1 年栽种侧柏数量比银杏数量多的情况为 (2009,2010),(2009,2013),(2009,2014) (2010,2011),(2011,2013),(2011,2014) 共6种情况 所以 北京新东方优能中学&

优能

1 对1&

新东方在线&

东方优播联合出品

15 18.(本小题满分

13 分) 如图,在四棱锥 中, 是等腰三角形,且,.四边形 是直角梯形 . (Ⅰ)求证: 平面 ;

( Ⅱ ) 当平面平面时,求四棱锥的体积;

(Ⅲ)请在图中所给的五个点 中找出两个点,使得这两点 所在的直线与直线 垂直,并给出证明 .. . 解析:(Ⅰ)因为 , 平面 , 平面 所以 平面 (Ⅱ) 在梯形 中,过点 作于,取 中点 ,连接 , 因为 ,所以在 中, , 因为平面 平面 , 平面 平面 , 所以 平面 因为 , , 北京新东方优能中学&

优能

1 对1&

新东方在线&

东方优播联合出品

16 所以 , 在中, ,,

因为 所以 (Ⅲ)点 和点 ,连接 和则,平分 ,所以 又,平面 , 平面 , 所以 平面 , 平面 ,所以 即证点 和点 所在的直线 与直线 垂直. 19.(本小题满分

14 分) 已知椭圆 的离心率为 其左顶点 在圆上( 为坐标原点). (Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)过点 作直线 交椭圆 于另外一点 ,交 轴于点 . 为 椭圆 上一点,且,求证: 为定值. 北京新东方优能中学&

优能

1 对1&

新东方在线&

东方优播联合出品

17 【解析】 (Ⅰ)由题可得令圆 中, ,则 又因为 为左顶点,所以 ,所以 所以椭圆 的方程为 . (Ⅱ)设直线 , , , , 可得韦达定理: , 则 , 北京新东方优能中学&

优能

1 对1&

新东方在线&

东方优播联合出品

18 令直线 为 且令 , 得 可得韦达定理: , 所以 , 所以定值为 2. 20.(本小题满分

13 分) 已知函数 . (Ⅰ)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直,求 的值;

(Ⅱ)若方程 在 上恰有两个不同的实数根,求 的取值范围;

(Ⅲ)若对任意 ,总存在唯一的 ,使得 ,求 的取值范围. 北京新东方优能中学&

优能

1 对1&

新东方在线&

东方优播联合出品

19 【解析】 (Ⅰ) ,所以 . 所以曲线 在点 处的切线斜率 . 所以 ,即.(Ⅱ) ,即.设,则 . 设 ,则 , 所以 在 上单调递增. 设 ,即 , 则当 时, 单调递减;

当时, 单调递增. 所以 , 又因为 在 上有两个不同的零点, 所以 ,即.所以 ,即 的取值范围是 . 北京新东方优能中学&

优能

1 对1&

新东方在线&

东方优播联合出品

20 令得,随的变化情况如下表: K 极小值 J 所以 在 单调递减,在 单调递增, 且当 时,当时, , 其大致图象如右图. 设在的值域为 , 因为对任意 ,总存在唯一的 ,使得 , 则,①当 时, ,符合题意;