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?热点追踪? 河南 颜如欣 立体几何中的动态问题, 常规的处理方法是将立 体问题转化为平面问题, 再利用平面几何的相关知识 求解, 而翻折是连接平面几何与立体几何的纽带, 实 现平面向空间的转化.

1 动点轨迹问题 例1若三棱锥 AGBCD 的侧面ABC 内一动 点P到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等, 则 动点 P 的轨迹与ABC 组成图形可能是( ) . 图1如图1,过P作面BCD 的垂线, 垂足为O.在ABC 内过P作PE ⊥ AB , 垂足为 E , P F ⊥BC , 垂足 为F.连OF , 根据题意PE = PO , 在Rt POF 中, ∠P FO 为定值, 所以 P F = PO sin∠P FO = PE sin∠P FO . 在平面中, 动点到一个角的两边距离之比为常数, 则动点轨迹为直线, 结合 sin∠P FO PE , 因此点 P 的轨迹与 AC 的交点 AC 在中点以上 ( 靠近 A 方向) , 故选 D. 本题打破平时以正方体为载体, 采用四面体 进行设计, 作了一定的改进, 难度较大. 主要 是将空间问题( 点到面的距离) 转化为平面上的问题 处理.

2 面积问题 例2如图 2, 长方体 ABCD GA

1 B

1 C

1 D

1 中, 已知AB =AD =2,AA

1 =3, 棱AD 在平面α 内, 则长 方体在平面α 内的射影所构成的图形面积的取值范 围是 . 图2四边形 ABCD 和ADD

1 A

1 的面积分别为

4 和6, 长方体在平面α 内的射影可由这

2 个 四边形在平面α 内的射影组合而成. 设面积为 S , 显然 S min =4. 若记平面 ABCD 与平面α 所成的角为θ, 则 平面 ADD

1 A

1 与平面α 所成角为 π

2 - θ, 它们在平面 α 内的射影分别为 4cosθ 和6cos( π

2 - θ) =6sinθ, 故S=4cosθ+6sinθ=2

13 sin( θ+φ) ( 其中 tan φ=

2 3 ) , 因此 S max =2

13 , 当且仅当θ= π

2 -φ 时取到, 因此 4≤S ≤2

13 . 本题通过设出长方体侧面与平面α 的夹角θ 确定射影的面积, 将射影面积表示为角θ 的 函数, 利用三角函数最值求解方法确定射影面积的范 围. 将立体几何中的动态问题转化为函数问题来解决 是常用思路.

3 距离或长度问题 例3如图

3 所示, 球O为边长为

4 的正方 体图3ABCD GA

1 B

1 C

1 D 的内切球, P 为球O的球面上动点, M 为B1C1中点, DP ⊥ BM , 则点P的轨迹周长为 . 由题 知, 欲使DP ⊥ BM , 利用三垂线定理,只需考虑DP 在平面BCC

1 B

1 的射影 CP ′与BM 垂直. 由平面几何知识可 知P′为BB

1 的中点, 如图

4 所示, 此时 P 的轨迹为过 CP ′与平面 BCC

1 B

1 垂直的平面α 与球 O 面相交截 得的圆, 此时球心 O 到此圆面的距离即为O ′到CP 的 距离O ′ H . 由正方体的边长为 4, 如图 5, RtB

1 N P ′ 中, 可得B1N=45,在B1NC 中, O ′为B1C的中点, O ′ H =

1 2 B

1 N , 所以 O ′H =

2 5 , 即球心 O 到此圆

5 万方数据 ?热点追踪? 面的距离为

2 5 . 又球 O 的半径为 1, 所以圆( P 的轨迹) 的半径为

4 5

5 , 因此 P 的轨迹周长( 即为此圆周 长) 为2π ?

4 5

5 =

8 5

5 π. 图4图5利用空间垂直关系的传递性可得 线面垂直 及线线垂直, 从而确定动点轨 迹, 将空间问题转化为平面问题, 由平面几何知识求得轨迹圆的半 径从而得解.

4 位置关系判定问题 例4在矩形 ABCD 中, AB =2AD , E 为边 AB 的中点, 将ADE 沿直线 DE 翻折成A

1 DE . 若M为线段A

1 C 的中点, 则在ADE 翻折过程中, 下面

4 个命题中正确的是 . A BM 是定值. B 点M在某个球面上运动. C 存在某个位置, 使DE ⊥A