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2 cos2 x

3 )3

2 =

4 9 √ 3, 当x=arccos √

3 3 时取等,故ymax =

4 9 √ 3. kuing 评注:若改为 y = sin x + sin 2x 又如何呢?留给大家练习,方法不止一种. 题目 2.1.5. 已知实数 a, b, c 满足 a + b + c =

0 且abc = 2,求证 a, b, c 中至少有一个不小于 2. 证明 不妨设 a ≥ b ≥ c,由于 a + b + c = 0,故a≥0,c ≤ 0,又因为 abc = 2,故a>

0,c <

0,b <

0. 假设

0 <

a <

2,则bc >

1,但由均值不等式有 bc = (?b)(?c) ≤ ( ?b ? c

2 )2 = (a

2 )2 <

1, 矛盾,故a≥2. 题目 2.1.6. 过抛物线的焦点的一条直线与抛物线交于两点 P、Q,经过点 P 和抛物线的顶点的直线交准 线于点 M,求证 MQ 平行于抛物线的对称轴. 图2.1.1 证明 用同一法.过M点作 MQ1 平行于对称轴 AF 交直线 PQ 于点 Q1,作PN 平行于对称轴 AF 交准 线于点 N,如图 2.1.1 所示.则有 OA PN = MO MP = Q1F PQ1 , OF MQ1 = PF PQ1 , 因为 OA = OF,所以 PN ・ Q1F PQ1 = MQ1 ・ PF PQ1 , 又PN = PF,故Q1F = MQ1,即Q1 在抛物线上,因此点 Q1 与点 Q 重合,命题得证.

7 助力高考 kuing 评注:抛物线焦点弦类问题有很多有趣的几何性质,并且一般都有几何证法,不需要代数运算,往往引人入 胜,本题就是一个经典题的例子. 题目 2.1.7. 在锐角 ABC 中,求证:sin A + sin B + sin C >

2. 证明 设∠B = x,则∠C = π ? A ? x,因为 ABC 是锐角三角形,所以

0 <

A <

π

2 ,0 <

x <

π

2 , A + x >

π

2 ,故π2?A 2,即sin A + sin B + sin C >

2. 此外,还有不用求导的适合高一的解法.仍然如上所设,利用和差化积公式将 f(x) ........