PDF《非线性 Vol ter》

第3 6卷第1 0期西南大学学报(自然科学版)

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1 4年1 0月Vol.

36No.10JournalofS o u t h w e s tU n i v e r s i t y( N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n ) O c t .

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1 4 D O I :

1 0 .

1 3

7 1

8 / j . c n k i . x d z k .

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1 4 .

1 0 .

0 2

0 非线性 V o l t e r r a - S t i e l t j e s型积分方程解的存在性 ① 杨芸碧1,

2 , 索洪敏1 , 安育成3 , 储昌木1

1 . 贵州民族大学 理学院,贵阳

5 5

0 0

2 5;

2 . 安顺学院 数学系,贵州 安顺

5 6

1 0

0 0;

3 . 毕节学院 理学院,贵州 毕节

5 5

1 7

0 0 摘要:根据非紧性测度以及凸幂凝聚算子的不动点定理,研究一类更具一般性的非线性 V o l t e r r a - S t i e l t j e s型积分 方程解的存在性. 由于非线性项中含有非线性积分算子,相对于线性积分算子,所得结论推广和丰富了已有的一 些结果. 关键词:非紧性测度;

凸幂凝聚算子;

V o l t e r r a - S t i e l t j e s型积分;

不动点 中图分类号:O

1 7

7 .

9 1 文献标志码:A 文章编号:1

6 7

3 9

8 6

8 (

2 0

1 4 )

1 0

0 1

1 4

0 5 V o l t e r r a - S t i e l t j e s型积分方程的研究是在2 0世纪6 0年代开始的. 文献[ 1-4 ]利用著名的S c h a u d e r不 动点定理证明了积分算子中积分核依赖于单个变量或两个变量的V o l t e r r a - S t i e l t j e s型积分方程解的存在性. 特别地,文献[

5 ] 利用非紧性测度及其凸幂凝聚算子的不动点定理研究了B a n a c h空间中非线性 V o l t e r r a型 积分方程解的存在性. 文献[

6 ]研究了一类非线性 V o l t e r r a - S t i e l t j e s型积分方程解的存在性. 受此思想的启 发,本文将在实 B a n a c h空间( E,‖・‖)中考虑一类更具一般性的非线性 V o l t e r r a - S t i e l t j e s型积分方程 x( t) = ∫ t t

0 k1( t, s) f1( s, x( s) ,( T x) ( s) ) d g( s) ? t∈I (

1 ) 解的存在性,其中 ( T x) ( s) = ∫ s t

0 k2( s, ν) f2( ν, x( ν) ) d ν I=[ t 0, t

0 +a] 以及 k i ∈C[ D, R] i=1,

2 D ={ ( t, s)∈I*I: s ≤t} (

2 ) f1 ∈C[ I*E *E, E] f2 ∈C[ I*E, E] (

3 ) 由于T 是一个非线性积分算子,从而本文即将获得的结论从本质上推广并丰富了已有文献的一些结果. 例如,当g( s) = s 时,积分方程(

1 )即是文献[

7 ]中研究的非线性 V o l t e r r a型积分方程.

1 预备知识 本文总假定( E,‖・‖)是实 B a n a c h空间. 不失一般性,令t

0 =0, h =1,则I=[ 0,

1 ] . 定义范数 ‖x‖c =m a x { ‖x( t) ‖: t∈I} ,则C[ I, E] 按范数 ‖x‖c 构成B a n a c h空间. 并且本文均用α( ・ ) 表示E ① 收稿日期:2

0 1

3 1

2 0

2 基金项目:贵州省科技厅自然科学基金资助项目( [

2 0

1 3 ]

2 1

4 1号) ;

贵州省科技厅联合基金资助项目( L KM[

2 0

1 1]

3 1号, L K B[

2 0

1 2]

1 9 号) . 作者简介:杨芸碧(

1 9

7 9 ) ,女,贵州安顺人,讲师,主要从事非线性分析方面的研究. 通信作者:索洪敏,教授,博士,硕士研究生导师. 和C[ I, E]中有界集的 K u r a t o w s k i非紧性测度. 对?r>0,令Tr ={ x ∈E:‖x‖ ≤r} ,以及 Ki =m a x { | k i( t, s) |:( t, s)∈ D} i=1,

2 M1( r) =s u p { ‖f1( t, x, y) ‖:( t, x, y)∈I*Tr *Tr} M2( r) =s u p { ‖f2( t, x) ‖:( t, x)∈I*Tr} 若H?C[ I, E] , t∈I,令H(t) ={ x( t) : x ∈ H } . 定义1 [

8 ] 设B 为E 中的闭凸集, A: B →B. 如果A 连续有界且存在x0 ∈B 以及正整数n0,使得 对任何非相对紧的有界集S ?B,都有α( A ( n