PDF《非线性 Vol ter》

0 , x

0 ) ( S) )0, f1 和f2 分别在I*E *E 和I*E 上一致连续,且H是C[ I, E] 中的有界 等度连续集, k1, k2 ∈C[ D, R] ,则{k1( t, s) f1( t, x( t) , y( t) ) : x, y ∈ H } { k2( t, s) f2( t, x( t) ) : x ∈ H } 分别是C[ I*E *E, E]和C[ I*E, E]中的等度连续集. 引理3 [

8 ] 设B 为E 中的非空有界闭凸集, A: B →B 是凸幂凝聚算子,则A在B 中有不动点. 引理4 [

9 ] 如果x 关于有界变差函数? 在[ a, b]上是S t i e l t j e s可积的,则‖∫bax( s) d ?( s) ‖ ≤ s u p a≤ s≤ b ‖x( s) ‖ ∨ b a ? ‖ ∫ t a x( x) d ?( s) ‖ ≤ ∫ t a ‖x( s) ‖d ( ∨ s a ?) ? t∈ [ a, b] 其中 ∨ b a ? 表示?( t)在[ a, b]上的变差. 引理5 [

1 0 ] 设H是C[ I, E] 中的有界等度连续集, x0 ∈C[ I, E] ,则co{H,x0} 是C[ I, E] 中的有 界等度连续集. 引理6 [

1 1 ] 设H是C[ I, E]中的有界等度连续集,则αH =m a x t∈ I α( H ( t) ) = α( H ( I) ) 其中αH 表示C[ I, E]中的非紧性测度, H ( I) ={ x( t) : x ∈ H , t∈I} =∪ t∈ I H ( t) .

2 主要结果 定理1 假设下列条件成立: ( H

1 ) g( s)是I 上的单调递增连续函数;

( H

2 )对任给实数r >0, f1, f2 分别在I*Tr *Tr 和I*Tr 上一致连续,且满足 l i ms u p r→+∞ M1( r) r 0,使得对E 中的任何有界集B1, B2, B3,函数f1, f2 满足 α( f1( t, B1, B2) )≤L1 α( B2) α( f2( t, B3) )≤L2 α( B3) (

5 ) 则积分方程(

1 )在C[ I, E]中至少存在一个解. 证 定义积分算子 ( F x) ( t) = ∫ t

0 k1( t, s) f1( s, x( s) ,( T x) ( s) ) d g( s) 则根据函数g 和k i 以及fi( i= 1,

2 ) 的性质,不难证明F: C[ I, E] →C[ I, E] 连续有界,且积分方程(

1 )

2 西南大学学报( 自然科学版) h t t p : / / x b b j b . s w u . c n 第3 6卷在I 上的解等价于算子F 的不动点. 下面将用引理3分3步完成定理的证明. 第一步:由条件( H

2 )知,存在a ∈ ( 0,

1 )及r

0 >0,使得对 ? r ≥r 0,有M1( r)