PDF《双模 Dicke 模型的一级量子相变∗》

3 平衡方程及稳定性分析 对于双模 Dicke模型的基态能可以运用平均场 理论得到. 首先, 利用Holstein-Primako?变换 [34] J+ = c? √ N ? c?c, J? = √ N ? c?cc, Jz = (c? c ? N/2), (2) 把哈密顿量(1)写成 H = ω1a? a + ω2b? b + ?(c? c ? N) + g1 √ N ( √ N ? c?cc + c? √ N ? c?c)(a + a? ) + g2 √ N (c? √ N ? c?c ? √ N ? c?cc) * (b? ? b). (3) 然后, 引入新的波色算符 ? a = a + √ Nα, ? b = b + √ Nβ, ? c = c ? √ Nγ, (4) 描述系统的集体激发, 其中参数 α, β, γ 是待定系 数. 最后, 通过玻色扩展方法 [35] , 将(3)式写成 H = N1 H0 + N1/2 H1 + N0 H2 + N?1/2 H3 5) 其中, H0 表征基态特性. 对于单模 Dicke 模型, α, γ 取实数 [35] . 但对于 双模Dicke模型, α, β, γ 需取复数, 即α = α1 +iα2, β = β1 + iβ2 和γ = γ1 + iγ2. 因此, 基态能为 H0 = ? g1 √

1 ? |γ|

2 (α′ + α)(γ + γ′ ) ? g2 √

1 ? |γ|

2 (β′ ? β)(γ′ ? γ) + ω1 |α|

2 + ω2 |β|

2 + ?(|γ|

2 ? 1/2). (6) 在(6)式中, 如果能够得到参数α, β 和γ, 就可以决 定系统的基态能. 对于 (6) 式中的参数, 可以通过求解平衡方程 ?H0 ?X =

0 (X = α1,2, β1,2, γ1,2)得到, 即2β1ω2 = 0, 2α2ω1 = 0, 4g2γ2 √

1 ? (γ2

1 + γ2 2) + 2β2ω2 = 0, ? 4g1γ1 √

1 ? (γ2

1 + γ2 2) + 2α1ω1 = 0, 4g1α1(2γ2

1 + γ2

2 ? 1) + 2γ1? √

1 ? (γ2

1 + γ2 2) ? 4g2β2γ1γ2 = 0, ? 4g2β2(γ2

1 + 2γ2

2 ? 1) + 2γ2? √

1 ? (γ2

1 + γ2 2) + 4g1α1γ1γ2 = 0, (7) 通过求解(7)式, 得到三组解 α1,2 = 0, β1,2 = 0, γ1,2 = 0;

(8a) β1,2 = α2 = γ2 = 0;

α1 = ± √ ??2ω2

1 + 16g4 1, γ1 = ± √ ?2?ω1 + 8g2 1/4g1;

(8b) α1,2 = β1 = γ1 = 0, β2 = ? √ ??2ω2

2 + 16g4 2/4g2ω2, γ2 = ± √ ?2?ω2 + 8g2 2/4g2. (8c) 且在ω1 = ω2, g1 = g2 时存在一组解 α2 = β1 = 0, α1 = ± √ (8g2 ? 2ω? ? 16g2γ2 2)(8g2 + 2ω?) 8gω , β2 = ? γ2 √ 8g2 + 2ω? 2ω , γ1 = ± √ 8g2 ? 16g2γ2

2 ? 2ωω0 4g , γ2 = γ2. (9) 最后, 哈密顿量(1)取(8)式中的哪个解由稳定 性决定. 对于多参数情况, 其稳定性由 Hessian 矩阵[36] 来判断. Hessian矩阵元定义为 Hij = ? ?Xi ?H0 ?Xj , 其中, Xi 表示第 i 个变量名. 如果 H 矩阵是正定矩 阵, 则系统是稳定的, 若出现负值和零则难以判断. 经简单计算, 得H=????????2ω1 ?4g1(A2 ? γ2 1)/A

0 0 ?4g1(A2 ? γ2 1)/A H22

0 0

0 0 2ω2 4g2(A2 ? γ2 2)/A

0 0 4g2(A2 ? γ2 2)/A H44 ? ? ? ? ? ? ? ? , (10) 134204-2 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No.

13 (2014)

134204 其中, A2 =1 ? (γ2

1 + γ2 2), H22 = 2? ? 2α2 1ω1(2γ2

1 + 3γ2

2 ? 3)/A4 ? 2β2 2ω2(γ2

2 ? 1)/A4 , H44 =2? ? 2α2 1ω1(γ2

1 ? 1)/A4 ? 2β2 2ω2(3γ2

1 + 2γ2

2 ? 3)/A4 .

4 基态特性 4.1 基态能 1) 首先讨论一个特例, 设ω2 = g2 = 0, 哈密顿 量(1)退化为单模Dicke模型 [13] , H = ω1a? a + ?Jz + g1 √ N (J? + J+)(a + a? ), (11) 经计算, 基态能为 H0 = ?4g1γα √

1 ? γ2 + ω1α2 + ? ( γ2 ?

1 2 ) . 平衡方程为 ω1α ? 2g1γ √

1 + γ2 = 0, 4g1αγ2 + ?γ √

1 ? γ2 ? 2g1α = 0. 求解上述平衡方程得到α = γ = 0或α=√16g4

1 ? ?2ω2 1/4g1ω1, γ = √ 4g2

1 ? ?ω1/2 √ 2g1. 最后, 利用Hessian矩阵 HD = ? ? ? ? ? 2ω1 4g1(2γ2 ? 1) √

1 ? γ2 4g1(2γ2 ? 1) √

1 ? γ2 2? ? 4g1αγ 2γ3 ?

3 (1 ? γ2)3/2 ? ? ? ? ? , (12) 得到: 对于 α = γ =

0 这组解在 g1 <

√ ?ω/2 是 正定的, 而另一组解则在 g1 >

√ ?ω/2 是正定的. 因此, Dicke 模型的基态能为 H0 = ??/2(g1 <