PDF《双模 Dicke 模型的一级量子相变∗》

√ ?ω1/2) 和H0 = ??2 ω1/(16g2 1) ? g2 1/ω1(g1 >

√ ?ω1/2). 如图1所示, 基态能的一阶导数在g1 = 0.5 处连续, 而二阶导数不连续. 因此, 在 临界点g1 = √ ?ω/2发生了二级量子相变 [16] . 2) 下面讨论双模 Dicke 模型. 计算中取 ? = ω1 = ω2 = ω. 把(8) 式中的第一组代入 Hes- sian 矩阵 (10) 获得正定要求为 g1 <

ω/2, 同时 g2 <

ω/2;

代入第二组后获得正定要求为g1 >

ω/2, g2 >

ω/2, 且g1 >

g2;

代入第三组后获得正定要 求为 g1 >

ω/2, g2 >

ω/2, 且g2 >

g1. 由此, 双模 Dicke模型的基态能为 H0 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ω/2, g1 <

ω/2, g2 <

ω/2, ?ω3 /16g2

1 ? g2 1/ω, g1 >

g2 >

ω/2, ?ω3 /16g2

2 ? g2 2/ω, g2 >

g1 >

ω/2, (13) 通过求H0 一阶导数, 得到 dH0 dg1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0, g1 <

ω/2, g2 <

ω/2, ?ω3 /8g3

1 ? 2g1/ω, g1 >

g2 >

ω/2, 0, g2 >

g1 >

ω/2. (14) 上式可知, 在dH0 dg1 g1=ω/2? = dH0 dg1 g1=ω/2+ =

0 处, 左右导数相同, 而在g1 = g2 处, dH0 dg1 g1=g2? = ? ω3 8g3

2 ? 2g2 ω , dH0 dg1 g1=g2+ = 0, 左右导数不相等, 即存在一级相变, 通过计算, 二 阶导数在 g1 = ω/2 的左右导数不连续, 存在有二 阶相变, 对于H0 对g2 的导数可以得到一致的结论. 不妨通过表

1 来描述该模型的相变问题, 可见, 双模Dicke 模型存在着两种相变, 其二级相变与单模 Dicke模型类似, 重要的是, 这里存在着新的一级量 子相变. 图1(网 刊彩色) Dicke 模型的量子相变(取 参数?=ω1 = 1, 黑线表示基态能, 红线表示基态能对 g1 的一阶导数, 蓝线表示基态能对 g2 的二阶导数) 134204-3 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No.

13 (2014)

134204 表1双模 Dicke 模型的量子相变 g1 <

√ ?ω/2 g1 = √ ?ω/2 g1 >

√ ?ω/2 g2 <

√ ?ω/2 一阶和二阶导数都连续 一阶导数连续但二阶导数不连续. 一阶和二阶导数都连续 g2 = √ ?ω/2 一阶导数连续但二阶导数不连续. 相变点 一阶和二阶导数都连续 g2 >

√ ?ω/2 一阶和二阶导数都连续 相变点 g1 = g2, 一阶导数不连续 4.2 序参量 体系的量子相变往往跟序参量存在着直接的 关系, 作如下定义: ? a? a ? = |α|

2 , ? b? b ? = |β|

2 , ?Jz? = |γ|

2 ? 1/2. 见图

2 , 平均光子数和原子布 居数随耦合强度的变化, 并且是一种线性的分布. 这是因为 (8)式中

二、 三两组解刚好是互斥的, 即意 味着原子和光场的激发和不激发都是对应的, 在g1 = g2 这个边界两侧, 光场刚好处在不同的态上, 若其一处在超辐射态, 另一个光场处在正常态中. 而通过 (9)式则说明满足g1 = g2 这一条件, 表示两 种光场都有激发的状态, 刚好是两种光场各自激发 的边界, 因此, g1 = g2 这个相变点是双模光场进行 竞争的结果, 导致两侧光场情况刚好相反, 并且通 过(8)式可知, 光子数的激发只与耦合强度有关, 这 也是图中的分布为什么是线型形式的原因. 最后, 需指出的是, 在(4) 式中得到的解始终 满足 γ1 = α2 = 0, 意味着对于双模 Dicke 模型, (J? + J+)(a + a? )的相互作用项引起集体激发的参 数在实部, (J+ ? J+)(a? ? a) 的相互作用项引起集 体激发的参数在虚部. 这可以理解为在相空间中, (J? +J+)和(a+a? )的相互作用发生在X 轴上, 即 在相空间中实轴上的激发, 而(J+ ? J?)和(a? ? a) 的相互作用发生在 Y 轴, 即产生相空间中虚轴上的 激发. 图2(网刊彩色) 两模 Dicke 模型的相图 (蓝色部分表示光子 (原子) 激发较少, 红颜色表示有较多的激发, 并且激 发与 g1(g2) 呈线性关系) (a), (b) 表示其中两模光场光子数在随耦合强度的变化情况;