PDF《普朗克黑体辐射定律的建立过程》

0 E Pε = (14) 这些能量单位

0 ε 可以按不同的比例分配给 N 个谐振子,由于这些能量单元

0 ε 都是不可区分的,因此分配方 案有所讲究.为了搞清楚这种分配方案,我们以 P=10 个能量单元

0 ε 分配到 N=5 个谐振子上为例,如图

5 所示,探讨总共有多少分配方案.图中的小黑点代表一个能量单元

0 ε ,两个实竖线间隔代表一个谐振子,实 线可以有不同的排列,虚线竖线代表边界固定.显然小黑点和实线共有的排列数为[10 (5 1)]! + ? ,由于能量 单元不可区分,小黑点的任意排列数10!不会带来能量分配的任何变化,同样实竖线的任何排列 (5 1)! ? 也不 会带来能量分配的任何变化.因此

10 个能量单元

0 ε 分配到

5 个谐振子的分配方案数共有 [10 (5 1)]! 10!(5 1)! + ? ? 种, 推而广之,P 个能量单元分配到 N 个谐振子的分配方案数共有 图510 个不可区分能量单元分配到

5 个谐振子的分配方案 ( 1)! !( 1)! P N P N + ? Ω = ? (15) 第32 卷第3期广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.32 No.3

2011 36 显然由于 1,

1 P N 可以采用斯特令近似公式 ! N N N = , (15)式化为 ( )P N P N P N P N + + Ω = (16) 分配方案数 Ω 和N个谐振子的玻尔兹曼熵 SN 之间的关系为 ln N S k = Ω, 式中的 k 为玻尔兹曼常数. 将(16) 式代入上式得到 [( )ln( ) ln ln ] [(1 )ln(1 ) ln ] N P P P P S k P N P N P P N N Nk N N N N 17) 总能量

0 E Pε = 分配给 N 个谐振子,每个谐振子的平均能量ε 为0PENNεε==.将谐振子平均能量代入(17) 式得到 N 个谐振子的熵 SN

0 0

0 0 [(1 )ln(1 ) ln ] N S Nk ε ε ε ε ε ε ε ε 18) 我们又知道 N 个谐振子的熵是单个谐振子熵的 N 倍,即NSNS = ,于是单个谐振子的熵为

0 0

0 0 [(1 )ln(1 ) ln ] S k ε ε ε ε ε ε ε ε 19) 由热力学公式

1 d d S T ε = ,将(19)式对ε 微分,得0001[ln(1 ) ln ] k T ε ε ε ε ε = + ? .由上式我们得到谐振子的平均能 量为

0 0 /

1 kT eε ε ε = ? (20) 将平均能量(20)式代入(11)式注意到(2)式,得黑体辐射本领

0 2

0 /

2 2π ( , )

1 kT R T c eε ε ν ν = ? (21) 考虑到维恩定律(3)式的要求,谐振子的能量单元必然正比于辐射场的频率,令0hεν=,我们便得到了普 朗克的黑体辐射公式

2 0

5 / 2π

1 ( , )

1 hc k T hc R T e λ λ λ = ? (22) 普朗克黑体辐射公式中包含了玻尔兹曼常数 k 和一个新的常数 h,普朗克用黑体辐射公式(22)去拟合当时 最精确的黑体辐射谱的实验结果得到 h 的值为 h=6.55*10-34 J・s,比现代值低 1%.同时还给出了玻尔兹曼常 数k=1.346*10-23 J/K,比现代值低 2.5%,而这个新的常数 h 也被称为普朗克常数.

6 结语 从维恩定律、瑞利-金斯公式再到普朗克公式的建立过程来看,热力学统计物理在其中起到了工具的作 用,而普朗克的量子论的阐述过程中,玻尔兹曼熵的概念更是用到极致.黑体辐射定律的建立和热力学统计 物理的紧密关联,似乎也是情理之中,因为黑体辐射本身就是热辐射的一个特殊情况.普朗克的成功除了得 益于深厚的热力学统计物理的根底,敏锐的头脑,还在于他十分注意最新实验的发展,在1900 年鲁本斯和 库尔玻姆实验发现黑体辐射低频段与维恩公式明显偏离后,普朗克不得不修正他当时已取得结果.普朗克量 子论假说具有划时代的意义,能量单元的存在它打破了能量连续变化的经典观念,普朗克本人和他同时代的 学者都没有充分认识和理解,普朗克量子论提出后的