PDF《第十章》

1 0

1 0

0 1

1 1

0 1

0 0 G

46 10.5 循环码 ? 概念 ? (n, k)循环码是线性分组码 ? 具有严密的代数结构,纠/检错能力很强 ? 主要特点 ? 封闭性等 ? 循环性,即码组集合中任一码组循环移 位,仍然属于一个可用码组

47 ? 例:一种(7,3)循环码的编码表 编号

0 1

2 3

4 5

6 a a a a a a a

0 0

1 0

1 1

1 1

0 0

1 0

1 1

1 1

0 0

1 0

1 0

1 1

1 0

0 1

0 1

0 1

1 1

0 1

1 1

0 0

1 0

1 0

1 1

1 0

0 0

0 0

0 0

0 0

8 7

6 5

4 3

2 1

2 3

5 6

8 4

7 48

一、循环码的表示 ? 码组: ? 码组矢量 ? 码多项式

0 0

1 1

2 2

1 1 ) ( x a x a x a x a x T n n n n + + + + = ? ? ? ? L ) , , , (

0 1

2 1 a a a a T n n L ? ? = r bit 监督码 k bit 信息码

0 1

1 2

1 a a a a a a k n k n n n L L ? ? ? ? ?

49 ? T(x)左移 i 位?对应码组仍为可用码组 ? 码多项式 i i n i n n i n i n n i n n i x a x a x a x a x a x a x T x

0 1

1 1

1 2

2 1

1 ) ( + + + + + + + = + ? ? ? ? + ? ? + ? ? L L i n n n i n a a a a a a ? ? ? ? ? L L , , , , ,

2 1

0 1

1 i n i n i n i i n i n a x a x a x a x a x a x R ? ? ? ? ? + ? ? ? + + + + + + + = L L

2 2

1 1

0 1

1 1

1 ) (

0 0

1 1

2 2

1 1 ) ( x a x a x a x a x a x T i n i n n n n n + + + + + + = ? ? ? ? ? ? L L

50 ? 结论 ? 是一个长度为 n 的循环码可用码 组,经过移位,也就是按模 运 算后,仍是一个可用码组.也即,一 个长为 n 的循环码,一定是以 为模的一个余式 )

1 ( + n x )

1 ( + n x ) (x T ) ( )

1 )( ( ) ( )

1 ( mod ) ( ) ( x R x x Q x F x x R x T x n n i + + = + =

51

二、循环码的生成多项式 ? 循环码字 ? 必存在这样一个码字,记为 g ? 生成多项式 a

0 …… a n-k-1 a n-k …… a n-1 x n-1 x n-k x n-k-1 x

0 1 * …… * *

1 0 ……

0 0

1 ) (

1 1

1 + + + + = ? ? ? ? ? x a x a x x g k n k n k n L 最高幂次n-k 末位为1

52 ? 生成矩阵 ? 例:(7, 3)循环码,已知生成多项式 构造编码表 G x g x g x x g x x G k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ) ( ) ( ) ( ) (

1 M

1 ) (

2 4 + + + = x x x x g

53 ? 任意一个循环码多项式 T(x) 都是 g(x) 的倍式 ? g(x)是xn +1 的一个因式,且最高幂次 n-k,末位为1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ] [ ) (

2 2

1 1

2 1 x g x h x g a x a x a x G a a a x T k n k n k n k n n n ? = ? + + + = ? = ? ? ........