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1 阶广义超导子之和称 为A上的广义超导子. 若A含有单位元 1, 则上述定义中的 m = ?g(1). 显然, g(xy) = g(x0y0) + g(x0y1) + g(x1y0) + g(x1y1), 其中 x = x0 + x1, y = y0 + y1. 根据环上 Breˇ sar 意义下的广义导子的定 义, 本文作者 [10] 给出了超代数上 Breˇ sar 意义下的广义超导子的定义. 定义 1.2 设A是超代数, g : A → A 是i阶线性映射, 若存在 A 上i阶的超导子 d 满足 g(xy) = g(x)y + (?1)i|x| xd(y), x, y ∈ A0 ∪ A1, 则称 g 是A上i阶的 Breˇ sar 型广义超导子. 若g=g0 + g1, 其中 gi 是A上i阶的 Breˇ sar 型 广义超导子, 则称 g 是A上的 Breˇ sar 型广义超导子, 称d=d0 + d1 是g的相伴超导子. 实际上, Nakajima 型广义超导子均为 Breˇ sar 型广义超导子. 定义映射 d = g + λa, 其中 λa(x) = mx, 所以 d(s) = g(s) + ms, s ∈ H(A). 因此对于任意 s, t ∈ H(A), g(st) + mst = g(s)t + (?1)i|s| sg(t) + (?1)i|s| smt + mst = g(s)t + (?1)i|s| sd(t) + mst, 所以 g(st) = g(s)t + (?1)i|s| sd(t). 又因为 d(s)t + (?1)i|s| sd(t) = g(s)t + mst + (?1)i|s| sg(t) + (?1)i|s| smt = g(st) + mst = d(st), 所以 d 是A上i阶的超导子. 定义 1.3 设A是超代数且 i ∈ {0, 1}. 若i阶线性映射 g : A → A 满足对于任意 x ∈ A 存在 i 阶的广义超导子 (gx, m) : A → A 使得 g(x) = gx(x), 则称 g 是A上i阶的局部广义 超导子. 一个

0 阶局部广义超导子与一个

1 阶局部广义超导子之和称为 A 上的局部广义超 导子. 设A=A0 ? A1 是超代数, 定义集合 E = E0 ? E1, 其中 E0 = {e ∈ A0|e2 = e} (E0 是A0 中所有幂等元构成的集合), E1 = {e ∈ A1| 存在 e ∈ E0 满足 (e + e)2 = e + e}. 因为 (e + e)2 = e + e, e ∈ E0, e ∈ E1, 所以 e2 = 0, e e + ee = e. 用R=R0 ? R1 来表示由 E 生 成的 A 的子超代数, 用I=I0 ? I1 来表示由 [E0, A] 生成的 A 的分次理想, 其中 [・, ・] 表示换 位子. 由文献 [4, 引理 1.2], I ? R. 如无特殊说明, 本文中的 A 是指含有单位元和非平凡幂等 元的素超代数. 显然, I = 0. 对于 A 的元素, 我们将用带下标的同一字母表示该元素的齐次 分量, 例如若 x ∈ A, 则其

0 次和

1 次齐次分量分别记作 x0 和x1.

2 局部广义超导子 本节将证明 A 上的局部广义超导子是广义超导子. No.

3 袁鹤: 素超代数的广义超导子和局部广义超导子

483 引理 2.1 设g是A上i阶的局部广义超导子, 则g(eaf) = g(ea)f + (?1)i|e| eg(af) ? (?1)i|e| eg(a)f, e, f ∈ H(E), a ∈ A. 证 因为 g 是A上i阶的局部广义超导子, i ∈ {0, 1}, 所以对于任意 y ∈ A, x ∈ H(A), z ∈ A, 存在 i 阶的广义超导子 (gy, m) 满足 (?1)i|x| xg(y)z = (?1)i|x| xgy(y)z =gy(xyz) ? gy(x)yz ? (?1)i|x| xy0gy(z) ? (?1)i(|x|+1) xy1gy(z) ? (?1)i|x| xmyz ? (?1)i|x| xy0mz ? (?1)i(|x|+1) xy1mz. 现在断言, 对于任意 x, y ∈ A, 若xy = yz = 0, 则必有 (x0 + (?1)i x1)g(y)z = 0. 实际上, 由A0 A1 = 0, 可得 x0y0 + x1y1 = x0y1 + x1y0 = 0, 从而 (x0 + (?1)i x1)g(y)z = x0g(y)z + (?1)i x1g(y)z =gy(x0yz) ? gy(x0)yz ? x0y0gy(z) ? (?1)i x0y1gy(z) ? x0myz ? x0y0mz ? (?1)i x0y1mz + gy(x1yz) ? gy(x1)yz ? (?1)i x1y0gy(z) ? x1y1gy(z) ? (?1)i x1myz ? (?1)i x1y0mz ? x1y1mz = 0. 设e, f 是A中的幂等元, 则对于任意 a ∈ A 均有 (1 ? e) ・ eaf = eaf ・ (1 ? f) = 0, e ・ (1 ? e)af = (1 ? e)af ・ (1 ? f) = 0, (1 ? e) ・ ea(1 ? f) = ea(1 ? f) ・ f = 0, e ・ (1 ? e)a(1 ? f) = (1 ? e)a(1 ? f) ・ f = 0. 因此, 对于 e0 ∈ E0, f0 ∈ E0, 根据上面的断言可得 (1 ? e0)g(e0af0)(1 ? f0) = 0, e0g((1 ? e0)af0)(1 ? f0) = 0, (1 ? e0)g(e0a(1 ? f0))f0 = 0, e0g((1 ? e0)a(1 ? f0))f0 = 0. 因此 g(e0af0) + e0g(a)f0 = g(e0a)f0 + e0g(af0), e0, f0 ∈ E0, a ∈ A. (2.1) 对于 e0 ∈ E0, f = f0 + f1 ∈ E, f0 ∈ E0, f1 ∈ E1, 再由上面的断言可得 (1 ? e0)g(e0af)(1 ? f) = 0, e0g((1 ? e0)af)(1 ? f) = 0, (1 ? e0)g(e0a(1 ? f))f = 0, e0g((1 ? e0)a(1 ? f))f = 0.