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1 , N m ∈ ? .

6 (丁).程式计算: 定义:延续第

二、三点之逻辑,利用电脑进行其繁杂 的运算 优点:计算级数数矫娴拇硭俣却笤 例如:例如由美国微软公司(MicroSoft)研发的 QuickBasic 软体, 进行程式编辑,以下为三行 n 列的原始程式码(

三、

四、

五、六行 n 列的原始程式码,见附表一)

10 CLS 清除萤幕

20 DIM A#(5),B#(5) 宣告设定五组变数(因为三 列一行有五种合法的放法)

30 FOR I=1TO

5 40 A#(I)=1

50 B#(I)=1

60 NEXT I 设定所有 AB 起始值皆为

1 70 INPUT N% 输入行数

80 FOR m=1 TO N%

90 A#(1)=B#(1)+B#(2)+B#(3)+B#(4)+B#(5)

100 A#(2)=B#(1)+B#(3)+B#(4)

110 A#(3)=B#(1)+B#(2)+B#(4)+B#(5)

120 A#(4)=B#(1)+B#(2)+B#(3)

130 A#(5)=B#(1)+B#(3) 利用导向排列方法中的 F(2,m)及所有残缺项彼此 间的关系,求出 F(2,m+1)

140 FOR J=1 TO

5 150 SWAP A#(J),B#(J)

160 NEXT J A、B 变数内容交换,B 变 数之空间留给(m+2)行170 PRINT B#(1),m 列印计算结果

180 NEXT m 进行下一次运算

7 以下为利用电脑所计算之数(表一) 由数鄄旆治,可知 ∞ → ∈ ? n N m 当,时, )

1 , ( ) , ( ? n m F n m F 会趋近一个 定值(如图

三、

四、

五、六). 下图为 F(3,n+1)/F(3,n)之图形变化 (图三) 行\列12345678一235813

21 34

55 二3717

41 99

239 577

1393 三517

63 227

827 2999

10897 39561 四841

227 1234

6743 36787

200798 1095851 五13

99 827

6743 55447

454385 3729091

30584687 六21

239 2999

36787 454385

5598861 69050253

851302029 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

1 2

3 4

5 6

8 下图为 F(4,n+1)/F(4,n)之图形变化 (图四) 下图为 F(5,n+1)/F(5,n)之图形变化 (图五) 5.1 5.3 5.5 5.7

1 2

3 4

5 6 7.6 7.8

8 8.2 8.4

1 2

3 4

5 6

9 下图为 F(6,n+1)/F(6,n)之图形变化 (图六)

(二).F ( m , n )的性质: 首先我们知道 F ( m , n ) = F ( n , m ),底下我们将固定列数 m,而探讨数列 , N n∈ 之性质. (甲) .一列性质之探讨: F (

1 , n )基本上就是费伯那契数列,其证明如下: 11.3 11.8 12.3

1 2

3 4

5 6

10 F (

1 , n ) = F( ) = F( ) + F( ) = F( + ) + F( ) 所以,我们有 F (

1 , n ) = F (

1 , n-1 ) + F(

1 , n-2 ) 又F(1,0)=1,F(1,1)=2所以 F (

1 , n ) 就形成了费伯那契数列 1,2,3,5,8,13,21……,只比 平常的费伯纳契数列少一个

1 . (乙) .二列性质之探讨: 由表

(一)直接观察可猜测

2 列的递回公式为: F (

2 , n ) =

2 F (

2 , n-1 ) + F (

2 , n-2 )

3 ≥ ?n

11 证明: F (

2 , n ) =F ( ) =F ( ) + F ( ) + F ( ) =F ( n , b b ) + F ( n , w b ) + F ( n , b w ) =F ( ) + F ( ) + F ( ) =F (

2 , n-1 ) + F ( n , w b ) + F ( n , b w ) =F ( ) + [ F ( ) + F ( ) ] + [ F ( ) + F ( ) ] =F (

2 , n-1 ) + [ F(n-1, b b ) + F(n-1, b w ) ] + [ F(n-1, b b ) + F(n-1, w b ) ] =F ( ) + F ( ) + [ F ( ) +F ( ) + F ( ) ] =F (

2 , n-1 ) + F(n-1, b b ) + [ F(n-1, b b ) +F(n-1, b w ) + F(n-1, w b ) ]

12 = F ( ) + F ( ) + F ( ) = F (

2 , n-1 ) + F (

2 , n-2 ) + F (

2 , n-1 ) =

2 F ( ) + F ( ) =

2 F (

2 , n-1 ) + F (

2 , n-2 ),证毕. 接下来我们想求 )

1 ,

2 ( ) ,

2 ( ? n F n F 之极限(因为在参考书籍中,利用极限值可求出 比内(binet)公式,即为一列的递回公式,因此我们沿用同一方法) 令nbnFnF=?)1,2(),2(,1)2,2()1,2(?=??nbnFnF.由)1,2()2,2(2)1,2(),2(??+=?nFnFnFnF可得

1 1

2 ? + = n n b b 设有极限存在,且为 X 则)12(1lim lim ? ∞ → ∞ → + = n n n n b b 因此 X X