PDF《/01 234 234》

1 2 + = 所以

0 1

2 2 = ? ? X X 解得两根为

2 1+ 及21? 另外,我们知道对 F (

1 , n ) 而言,有一个比内公式: ] )

2 5

1 ( )

2 5

1 [(

5 1 ) ,

1 ( )

1 ( )

1 ( + + ? ? + = n n n F (请注意,我们的数列 <

F (

1 , n ) >

是1,2,3,5,8,13……)

13 因此,我们推测 F (

2 , n ) 应该有一个类似的公式 首先我们假设 n n n F )

2 1 ( )

2 1 ( ) ,

2 ( ? + + = β α 因为

3 )

1 ,

2 ( = F 、

7 )

2 ,

2 ( = F 所以 ? ? ? ? + + = ? + + =

2 2 )

2 1 ( )

2 1 (

7 )

2 1 ( )

2 1 (

3 β α β α 由此可得

2 2

1 + = α 、

2 2

1 ? = β 因此我们推得公式为 [ ]

1 1 )

2 1 ( )

2 1 (

2 1 ) ,

2 ( + + ? + + = n n n F 我们再用 )

3 ,

2 ( F 、 )

4 ,

2 ( F 、 )

5 ,

2 ( F 来检查都符合 所以我们相信公式正确,也就是说,我们相信有性质如下: [ ]

0 , )

2 1 ( )

2 1 (

2 1 ) ,

2 (

1 1 ≥ ? ? + + = + + n n F n n 证明 : 1. 当n=1时,F(2,1)])21()21[(

2 1

1 1

1 1 + + ? + + = )]

2 2

3 ( )

2 2

3 [(

2 1 ? + + = =

3 14 n=

2 时,F(2,2)])21()21[(

2 1

1 2

1 2 + + ? + + = )]

2 5

7 ( )

2 5

7 [(

2 1 ? + + = =7 2. )

2 (

1 ≥ ≤ ≤ k k n 时设F(2, n ] )

2 1 ( )

2 1 [( )

1 1 + + ? + + = n n 皆成立 则F(2,k+1)=2F(2,k)+F(2,kC1) = ] )

2 1 ( )

2 1 [(

2 1

2 1

1 + + ? + + ? k k + ] )

2 1 ( )

2 1 [(

2 1 k k ? + + = ] )

2 1 ( )

2 1 [(

2 1 ] )

2 1 (

2 )

2 1 (

2 [

2 1

1 1 k k k k ? + + + ? + + + + = )]

2 2

3 ( )

2 1 ( )

2 2

3 ( )

2 1 [(

2 1 ? ? + + + k k = ] )

2 1 ( )

2 1 [(

2 1

2 2 + + ? + + k k 由1,2及数学归纳法得证 现在既然 F(2,n)

0 ], )

2 1 ( )

2 1 [(

2 1

1 1 ≥ ? ? + + = + + n n n 所以我们可得

2 1 )

2 1 ( )

2 1 ( )

2 1 ( )

2 1 ( lim )

1 ,

2 ( ) ,

2 ( lim

1 1 + = ? + + ? + + = ? + + ∞ → ∞ → n n n n n n n F n F 也就是说 )

1 ,

2 ( ) ,

2 ( lim ? ∞ → n F n F n 的确存在而且就是 1+

2 .

15 (丙) .三列性质之探讨: 在探讨三列性质前,我们要知道一些等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b b n F , = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b b n F ,

1 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b w n ,

1 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b w b n F ,

1 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b b n F ,

1 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b w n F ,

1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b w n F , = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b b n F , = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b b n F ,

1 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b w b n F ,

1 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b b n F ,

1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b w b n F , = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b b n F ,

1 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b w n ,

1 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b b n F ,

1 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b w n F ,

1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b w n F , = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b b n F ,

1 + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b w b n F ,

1 原本我们打算模仿求二列递回公式的方法,实际演算后发现三列 的递回公式并不如预期的那麽简单,一开始我们推导如下: F( ) n ,

3 = F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b b n, + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b w n, + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b w b n, + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b b n, + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b w n, = F( )

1 ,

3 ? n + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b w n, + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b w b n, + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b b n, + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b w n, = F( )

1 ,

3 ? n + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b b n ,

1 + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b w b n ,

1 + F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? w b b n ,