PDF《数学杂志》

Vol.

38 (

2018 ) No.

3 数学杂志J. of Math. (PRC) Heisenberg 李 (超) 代数的自同构群 刘蕾, 唐黎明 (哈尔滨师范大学数学科学学院, 黑龙江 哈尔滨 150025) 摘要: 本文研究了 Heisenberg 李 (超) 代数的自同构群. 利用 Heisenberg 李 (超) 代数与线性 李 (超) 代数之间的同构, 获得了 Heisenberg 李 (超) 代数的自同构群的子群, 包括内自同构群、中心 自同构群、 对合自同构群. 关键词: Heisenberg 李代数;

Heisenberg 李超代数;

自同构群 MR(2010) 主题分类号: 17B30;

17B40 中图分类号: O152.5 文献标识码: A 文章编号: 0255-7797(2018)03-0502-09

1 引言 近年来, Heisenberg 李 (超) 代数的结构和表示一直是非常重要的研究课题, 许多学者对 此有着广泛研究. 例如, 文[1] 研究了特征

0 代数闭域上 2m + n +

1 维Heisenberg 李超代数 的表示;

文[2] 研究了复数域上无限维 Heisenberg 代数的全形和全形的导子代数, 证明了其 全形的导子代数是一个完备李代数;

文[3] 研究了特征

2 域上 2n +

1 维Heisenberg 李代数的 同调;

文[4] 研究了向量超空间上有限维 Heisenberg 李超代数不变的超对称和超正交双线性 型;

文[5] 研究了特征

0 代数闭域上两种类型 Heisenberg 李超代数的极小忠实表示. 本文约定在交换环上讨论 Heisenberg 李代数的自同构群, 在特征

0 代数闭域上讨论 Heisenberg 李超代数的自同构群. 仿照文 [6] 中交换环上严格上三角矩阵李代数的自同构和 文[7] 中复向量空间上 Heisenberg 李代数的自同构的刻画, 参照文 [3, 7] 中Heisenberg 李代 数的定义, 利用文 [7] 中Heisenberg 李代数与线性李代数之间的同构, 本文研究了交换环上 Heisenberg 李代数的自同构, 包括内自同构、 中心自同构、 对合自同构, 进而得到其自同构群 的子群, 包括内自同构群、 中心自同构群、 对合自同构群. 利用文 [5] 中有限维 Heisenberg 李 超代数的定义, 本文建立了 Heisenberg 李超代数与线性李超代数之间的同构, 从而研究了特 征0代数闭域上 Heisenberg 李超代数的自同构, 包括内自同构、中心自同构、对合自同构, 进而得到其自同构群的子群, 包括内自同构群、 中心自同构群、 对合自同构群.

2 基本概念和引理 令R是具有单位元的交换环并且 Mn(R) 是R上所有 n * n 矩阵构成的集合, 其中 n 是 正整数. 令eij 表示第 i 行第 j 列元素为 1, 而其余元素为

0 的矩阵, 其中 i, j 是正整数. ? 收稿日期: 2017-01-16 接收日期: 2017-03-17 基金项目: 黑龙江省教育厅科学技术项目 (12541246). 作者简介: 刘蕾 (1993C), 女, 黑龙江哈尔滨, 硕士, 主要研究方向: 李代数与李超代数. 通讯作者: 唐黎明. No.

3 刘蕾等: Heisenberg 李 (超) 代数的自同构群

503 定义 2.1 [7] 令H=???0xz00y000???x∈R1*n , z ∈ R, y ∈ Rn*1 , 则H关于李运算 [h1, h2] = h1h2 ? h2h1, ?h1, h2 ∈ H 作成一个李代数, 称H为Heisenberg 李代数. 令F是特征

0 代数闭域并且 Mn(F) 是F上所有 n * n 矩阵构成的集合, 其中 n 是正整 数. 定义 2.2 [5] F 上具有一维中心的二步幂零李超代数称为 Heisenberg 李超代数, 并且 Heisenberg 李超代数分为以下两种类型. (1) 令Hm,n = (Hm,n)0 ? (Hm,n)1 是具有偶中心的 Heisenberg 李超代数, 设{u1,um, v1,vm, z | w1,wn} 为它的一个基, 并且李超运算由以下给出 [ui, vi] = ?[vi, ui] = z = [wj, wj], ?i = 1,m, j = 1,n, 其余基元素之间的李超运算均为 0. (2) 令Hn = (Hn)0 ? (Hn)1 是具有奇中心的 Heisenberg 李超代数, 设{v1,vn | z, w1,wn} 为它的一个基, 并且李超运算由以下给出 [vi, wi] = z = ?[wi, vi], ?i = 1,n, 其余基元素 之间的李超运算均为 0. 根据定义 2.2 证得以下两个引理. 引理 2.3 令F上A=A0 ? A1 是一个线性李超代数, 其中 A0 = spanF{e12,e1,m+1, e2,m+2,em+1,m+2, e1,m+2}, A1 = spanF{