PDF《第12 次作业参考答案》

第12 次作业参考答案 1.

证明 Baker-Hausdor? lemma. 定义: [ A(0) , B ] = B [ A(1) , B ] = [A, B] [ A(2) , B ] = [A, [A, B]] ... (1) 即[A, [ A(i) , B ]] = [ A(i+1) , B ] (2) Baker-Hausdor? lemma 可以表述为: eA Be?A = ∞ ∑ i=0

1 i! [ A(i) , B ] (3) 证明方法 1: 令: g(t) = ∞ ∑ n=0

1 n! dn g(t) dtn t=0 tn = eAt Be?At (4) 则: dg(t) dt = eAt ABe?At ? eAt BAe?At = eAt [A, B]e?At d2 g(t) dt2 = d dt ( dg(t) dt ) = eAt A[A, B]e?At ? eAt [A, B]Ae?At = eAt [A, [A, B]]e?At = eAt [A(2) , B]e?At . . . (5) 可以很容易用数学归纳法证明: dn g(t) dtn = eAt [A(n) , B]e?At (6)

1 所以: g(t) = eAt Be?At = ∞ ∑ n=0

1 n! dn g(t) dtn t=0 tn = ∞ ∑ n=0

1 n! [A(n) , B]tn (7) 令上式中的 t =

1 即得 Baker-Hausdor? lemma 式3. 证明方法 2: I. 先利用数学归纳法证明: An B = n ∑ i=0 Ci n [ A(i) , B ] An?i = n ∑ i=0 n! (n ? i)!i! [ A(i) , B ] An?i (8) 当n=0 时上式为 B = [A(0) , B] = B 明显成立. 当n=1 时上式为: AB = BA + [A, B] (9) 明显成立. 假设式 8对n成立,则n+1 时: An+1 B = n ∑ i=0 Ci nA [ A(i) , B ] An?i = n ∑ i=0 n! (n ? i)!i! [ A(i) , B ] An+1?i + n ∑ i=0 n! (n ? i)!i! [ A(i+1) , B ] An?i (10) 其中利用了公式: A [ A(i) , B ] = [ A(i) , B ] A + [ A(i+1) , B ] (11) 在式 10右侧第二个求和式中,取j=i+1 得: n+1 ∑ j=1 n! (n ? j + 1)!(j ? 1)! [ A(j) , B ] An?j+1 (12) 将求和指标 j 换成 i 得: n+1 ∑ i=1 n! (n ? i + 1)!(i ? 1)! [ A(i) , B ] An?i+1 (13)

2 代入式 10中,与右侧第一个求和式相加得: An+1 B = n ∑ i=0 n! (n ? i)!i! [ A(i) , B ] An+1?i + n+1 ∑ i=1 n! (n ? i + 1)!(i ? 1)! [ A(i) , B ] An?i+1 = n+1 ∑ i=0 ( n! (n ? i)!i! + n! (n ? i + 1)!(i ? 1)! ) [A(i) , B]An+1?i = n+1 ∑ i=0 n!(n ? i + 1) + n!i (n ? i + 1)!i! [A(i) , B]An+1?i = n+1 ∑ i=0 (n + 1)! (n ? i + 1)!i! [A(i) , B]An+1?i (14) 即式 8对于 n+1 也成立.上式第二行可以将第一行右侧的两项求和的上下限均 取为

0 到无穷大是因为负数的阶乘是无穷大. 由式 8对n成立可以推导出其对 n+1 成立,即式 8对任意非负整数 n 均成 立. II. 由式 8推导 Baker-Hausdor? lemma: eA Be?A = [ ∞ ∑ n=0

1 n! An B ] e?A = [ ∞ ∑ n=0

1 n! ∞ ∑ i=0 n! (n ? i)!i! [ A(i) , B ] An?i ] e?A = [ ∞ ∑ i=0

1 i! [ A(i) , B ] ( ∞ ∑ n=0

1 (n ? i)! An?i )] e?A = ∞ ∑ i=0

1 i! [ A(i) , B ] (15) 上式计算利用了: ∞ ∑ n=0

1 (n ? i)! An?i =

1 (16) 这是因为负数的阶乘为无穷大. 2. U = a0+i? σ・? a a0?i? σ・? a ,a0 是实数,? a 是三维矢量. (a) 证明 U 是幺正而且幺模 令?a=(a1, a2, a3), a = |? a|,将泡利矩阵代入计算可得: Un = a0 + i? σ ・ ? a = ( a0 + ia3 a2 + ia1 ?a2 + ia1 a0 ? ia3 ) (17) Ud = a0 + i? σ ・ ? a = ( a0 ? ia3 ?a2 ? ia1 a2 ? ia1 a0 + ia3 ) (18) U?1 d =

1 a2

0 + a2 ( a0 + ia3 a2 + ia1 ?a2 + ia1 a0 ? ia3 ) (19)

3 U = UnU?1 d =

1 a2

0 + a2 ( a2

0 ? a2 + 2ia0a3 2a0(a2 + ia1) 2a0(?a2 + ia1) a2

0 ? a2 ? 2ia0a3 ) (20) det(U) = 1, U? U =

1 (21) 即U为幺模幺正矩阵. (b) 寻找此矩阵对应的三维转动轴与转角 与三维转动轴 ? n = (nx, ny, nz),转动角 ? 对应的转动算符为: e?i? σ・? n?/2 = cos ?

2 ? i? σ ・ ? n sin ?

2 = ( cos ?

2 ? inz sin ?

2 ?(ny + inx) sin ?

2 (ny ? inx) sin ?

2 cos ?

2 + inz sin ?

2 ) (22) 与式 20对比可得: cos ?

2 = a2

0 ? a2 a2

0 + a2 (23) nx sin ?

2 = ? 2a0a1 a2

0 + a2 ny sin ?

2 = ? 2a0a2 a2

0 + a2 nz sin ?

2 = ? 2a0a3 a2

0 + a2 (24) 由式 23可得: sin ?

2 = 2a0a a2

0 + a2 (25) ? =