PDF《粒子物理与核物理实验中的》

1 粒子物理与核物理实验中的 数据分析 陈少敏 清华大学 第八讲:最大似然法(II)

2 本讲要点 ? 双参数情况下的最大似然法举例 ? 利用MINUIT数值求解最小值 ? 推广的最大似然法 ? 利用最大似然法处理分区数据 ? 检验最大似然法的拟合优度 ? 与贝叶斯参数估计之间的关系

3 例子:最大似然法处理双参数 考虑散射角分布 例如:对于参数为α=0.

5,β=0.5,探测器有效范围 x min=-0.95, x max= 0.95, 产生 n=2000个蒙特卡罗事例,研究用最大似然法处理双参数的问题. θ cos = x

3 /

2 2

1 ) , ;

(

2 β β α β α + + + = x x x f min max x x x <

<

在实际情况下,探测器也许不可能做全空间探测,即.这个时候需要考虑效率影响,并对函数进行归一化处理,例如

1 1

1 f x x dx α β ε ? ? = ∫ θ min max

1 ( )

0 x x x x ε <

<

? = ? ? 效率 否则

4 双参数问题(续) 用数值解找到 log L 的最大值 m ? 0.50 ? 0.51 ? ? cov , 0.0024 ? 0.4 0.05 0.1

2 1 r α β α β ρ = ± = ± ? ? = ? ? = = 协方差 m

2 1 ? log ( )ij i j L V θ θ θ θ ? = ? = ? ? ? G G 误差 : ? ? ? ? , α β σ σ 由联合概率密度得到样本的似然函数

2000 1 i i L x f x α β α β = = ∏ G (MINUIT HESSE) 注意:拟合中采用的是点拟合, 与直方图的区间大小划分无关. 注意:拟合中采用的是点拟合, 与直方图的区间大小划分无关.

5 双参数拟合:蒙特卡罗研究 做500次模拟实验,重复最大似然拟合,每次都是模拟 n=2000 个事例: ? ? ? ? 0.499 0.498 0.051 0.111 ? ? cov[ , ] 0.0024 ? 0.42 s s r α β α β α β ρ = = = = = = = ? ?, α β 正相关 边缘概率密度函数 近似为高斯分布. ? α ? β ? α ? β ? ? α β 表明 与并不完全独立.

6 双参数拟合:log L 等高线 在前面蒙特卡罗样本中,其中的 一次拟合结果在α,β 平面表示为 对于大的样本容量 n,log L 具有下列 形式: max

2 2

2 ? ? ? ? log ( , ) log ? ? ? ?

1 2 2(1 ) L L α α β β α β α α β β α α β β ρ ρ σ σ σ σ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

7 双参数拟合:log L 等高线(续) 等高线 log L(α,β)=log L max C ? 是根据下式定义得到的

2 2

2 ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2

1 1 α α β β α α β β α α β β ρ ρ σ σ σ σ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中,等高线的切线给出了标准偏差 椭圆的倾角与相关系数有关 β α σ σ ? ? ,

2 ?

2 ? ? ?

2 2 tan β α β α σ σ σ ρσ φ ? = 注意:参数之间相关的效应体 现在对估计量的误差或方差方 面的影响(或偏大或偏小). 注意:参数之间相关的效应体 现在对估计量的误差或方差方 面的影响(或偏大或偏小).

8 一个实用的求函数最小值程序 在核与粒子物理研究中,大家普遍使用的求函数最小值程序是 MINUIT 软件包 它可以对目标函数为似然函数,最小二乘函数或用户自定义函数求极值. 它提供了几种最小化过程和相应的误差分析.原初版本用Fortran语言. 写于25年前,用于当时西欧核子中心(CERN)的实验数据分析.现也被 应用于粒子物理以外的领域.目前,在核与粒子物理研究中,有三种使 用方式 ?在MINUIT框架下单独使用(适于data-driven模式);

?在物理分析工作站(PAW)环境下互动调用MINUIT软件包(基于Fortran);

?在PAW升级软件包ROOT环境下互动调用MINUIT软件包(基于C++). 求log L 最大值等效于求 Clog L 的最小值. http://hep.tsinghua.edu.cn/~chensm/lectures/minuit.pdf