编辑: 牛牛小龙人 | 2017-09-19 |
33 一道高考试题的源流、猜想与证明 ――一个研究性学习教学案例 张国坤1,杨建昌2 (1.
云南省曲靖市第一中学6550∞;
2.云南省罗平县第一中学655899) 推理是一种重要的思维方式,人们的许多 思维过程都是一种推理活动过程.从特殊到一 般,从部分到整体,进行归纳和抽象,这是科学 家实现科学发现的一条重要途径.我们普通人 也如此,在数学学习和研究中,从特殊到一般 的思维活动,可以发现数学规律,获得新的数 学结论,不断丰富已有知识.训练学生从特殊 到一般的归纳意识和归纳能力,是帮助学生学 习知识、培养学生仓Ij新意识的重要途径之一. 高中新课标教材《选修2―2》
第二章和《选修1―2》
第二章都安排了"推理与证明"的重要 思维知识,本章是策略性知识,属于数学思维 方法范畴.在过去的学习中,从来没有离开合 情和演绎推理两种思维方式,但只是隐性地学 习、渗透和应用,没有明确提出来,在"推理与 证明"这一章里,通过一些典型案例的分析,集 中显性地提出从特殊到一般的归纳、从特殊到 特殊的类比、从一般到特殊的演绎等推理和思 维方式,使学生对人类自身的思维方式更加明 确.教学中,不仅要让学生弄清楚这些思维方 式的基本特点,基本用法,更要在后续学习和 教学中让学生有目的有意识地利用这些思维, 逐步培养探索意识和思维能力.下面介绍一个 培养学生从特殊到一般归纳意识的真实的研 究性学习教学案例. 前不久,给高二学生上《选修2―2》
第二章 "推理与证明"之"2.2直接证明与间接证明", 收稿日期:2016一03一02 教材编排了一道数字不等式的证明问题: 选修1―2第39页例3(或选修2―2第87 页例2):求证厢+^厅范+船也不能互推,此路不通,另谋出路. 为了便于思考、书写简洁一些,不妨用口, 6,c,d更换陌加,拓,妇,把问题变换为: 如果a,6,c,d>O,且n3+63=c3+留,口363 >c3扩(即幽>础),那么口+6>c+吐 要证……只要证……只要证彩(n+6)> 谢(f+d),……,还是不通,本质与前法一样. .5,6分钟过去了,找不到合适的办法. 换成其它的情形,能否证明呢?譬如拓, 拓,拓,拓还是无法证明. 由特殊到一般,一念之间,老师突然想到 本文后面将要探索研究的一般陛结论,但故意 不说出来,把归纳机会留给学生,引导学生自 主归纳推测. 将口6>耐看作条件,前面的几个不等式, 写成指数形式,就是: 口{+班>蠢+矗, 口音+毋>d+小, 口{+毋>矗+矗. 万方数据 第35卷第7期2016年7月 数学教学研究
35 老师再引导,本章叫做"推理与证明",我 们已经初步学习了"从特殊到一般"的归纳的 基本策略,我们观察上面几个式子可以想到什 么吗7 学生:(猜想)如果把指数换作z,就可以 得到矿+扩>,十扩. 老师:要不要对z作限制,有没有什么意 外呢? 沉默片刻,有学生发言:"要限制z>o", 教师点头肯定后说:"是吗,取z=1呢?" 学生:取z―l就得到口+6>c+d,与已 知条件n+6一c+d矛盾了. 教师;
好的,z=1好像有"零点"的感觉, 那么z=1可能就是问题的一种分界了,z>1 时可能会怎么样? 学生:可能不等号的方向就反掉了. 老师:(期待地)能说具体点吗? 学生:我想,z>1后,可能就是矿+铲< 0七.毋. 征求其他同学的意见,也有了同样的想 法. 老师:我也是这样想的,但是,仅仅是猜 想,猜想就可能错误,怎样判断这个猜想的对 错呢? 学生:先找个特殊情况来试探一下. 老师:试探?说得好.找什么特殊情况更 好呢? 学生:取z一2,就得到a2+铲cd,则(∥+炉)一(c2+毋) =[(日+6)2―2口6]一[(c+d)2―2c羽 =一2(如一以)