PDF《2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析》

Born to win

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、选择题:1~8 小题,每小题

4 分,共32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 .

.. 指定位置上. 1.下列函数中不可导的是( ) . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【解析】 A 可导: B 可导: C 可导: D 不可导: 2.过点 与 且与 相切的平面方程为 A. 与B. 与C. 与D. 与 【答案】B 【解析】因为平面过点 与 ,故 C、D 排除, Born to win 由此,取特殊值;

令x=1,则法向量为 ,故B选项正确. 3. A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 4. . 则 大小关系为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 Born to win 5. 下列矩阵中,与矩阵 相似的为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 方法一:排除法 令 ,特征值为 1,1,1, 选项 A:令,的特征值为 1,1,1, 选项 B:令,的特征值为 1,1,1, 选项 C:令,的特征值为 1,1,1, 选项 B:令,的特征值为 1,1,1, 若矩阵 相似,则矩阵 与 相似,从而 ,故选(A) 方法二:定义法(利用初等矩阵的性质) 令,,

Born to win 所以 相似,故选(A) 6.设为阶矩阵,记 为矩阵 的秩, 表示分块矩阵,则A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】根据矩阵的运算性质, ,故A正确. 若 ,则 ,所以 排除 B. 若,则,所以排除 D. 7. 设为某分布的概率密度函数,,

,则A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】A. 【解析】特殊值法:由已知可将 看成随机变量 的概率密度,根据正态分 布的对称性, Born to win 8. 给定总体 , 已知,给定样本 ,对总体均值 进行检验, 令 ,则 A. 若显著性水 时拒绝 ,则 时也拒绝 B. 若显著性水 时接受 ,则 时拒绝 C. 若显著性水 时拒绝 ,则 时接受 D. 若显著性水 时接受 ,则 时也接受 【答案】D 【解析】当时,拒绝域为 ,即当时,接受域为 ,即(1)包含(2) ,所以选项 D 正确.

二、填空题:9?14 小题,每小题

4 分,共24 分,请将答案写在答题纸指定位置上. 9. ,则 【答案】 . 【解析】 10.设函数 具有

2 阶连续导数,若曲线 过点 且与曲线 在点 处相切,则 【答案】 【解析】 Born to win 11.设 .则 【答案】 或 【解析】令则故12.曲线 由与相交而成,求 【答案】 . 【解析】 13.二阶矩阵 A 有两个不同特征值, 是A的线性无关的特征向量,且满足 ,则 【答案】 【解析】 从而 无关, , 14. 设随机事件A与B相互独立,A与C相互独立,,

若Born to win ,则 【答案】 【解析】

三、解答题:15―23 小题,共94 分.请将解答写在答题纸 ... 指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本题满分

10 分) 求不定积分 【答案】 【解析】 对于 ,令 ,则 Born to win 故原式 16.(本题满分

10 分)一根绳长 2m 截成三段,分别折成圆、三角形与正方形,这三段分别 为多长时所得面积之和最小,并求该最小值. 【答案】 【解析】假设圆的半径为 x,正方形边长为 y,正三角形边长为 z,则有 令 求解上述方程得到,驻点为 最小面积为, . 17.(本题满分

10 分) 取正面,求.【答案】 . 【解析】 ,即 ,设 ,方向指向 轴负半轴, Born to win 又 ,所以原式 . 18. (本题满分

10 分) 微分方程 (1)当时,求微分方程的通解 (2)当 为周期函数时,证微分方程有通解与其对应,且该通解也为周期函数 【答案】 【解析】 (1) (2) ,由于 ,则 得证. 19. (本题满分

10 分) 数列 证明 收敛,并求 【答案】 【解析】 (1) 有界性:由有则,设 . ,且 单调递增,故 ,即 Born to win 因此 在 时大于 1,故,同理,用数学归纳法可证之, 对.单调性: 设,显然当 时, 则 单调递减,又故单调递减 综上可知 单调递减且存在下界, 存在. (2)设 ,由 ,可知 . 20. (本题满分

11 分) 设实二次型 ,其中 是参数. (1)求 的解 (2)求 的规范形 【解析】 (1) , ①当 ,即 时, Born to win 有非零解 通解为 ②当 ,即 时, 只有

0 解即(2) 由(1)可得:当时方法

一、 二次型 为正定二次型, 所以规范形为 方法

二、 为可逆线性变换,所以规范形为 当时方法

一、特征值法: 所对应的二次型矩阵为 所以二次型的规范型为 方法二:配方法 Born to win 令,二次型的标准型为 , 二次型的规范型为 . 21. (本题满分

11 分) 已知 是常数,且矩阵 可经初等列变换化为矩阵 (1) 求(2) 求满足 的可逆矩阵 【答案】 (1) (2) ,其中 【解析】 (1) 矩阵 经过初等列变换得到矩阵 矩阵 等价 (2) Born to win 可逆, , 22.已知随机变量 相互独立,且 服从参数为 的泊松分 布, . (1)求(2)求 的分布律 【解析】 当当当Born to win 23.已知总体 的密度函数为 为来自总体 的简单随机样本, 为大于

0 的参数, 的最大似然估计量为 (1)求.(2)求 【解析】 (1)对于总体的 个样本值 ,其似然函数为 取对数得 , 解得 ,又因为 , 的最大似然估计量为 . (2) 其中 , .