PDF《Bregman 全散度水平集图像分割方法》

7 期 等人[22] 利用凸模型解决模型参数难确定的问题.文献[23]专 门对活动轮廓中存在的局部最优解的问题进行分析,使用分 裂变量方法求解最优解.但是,这些基于 L1 优化问题的全局 最优求解方法在迭代计算过程中容易产生分母为奇异值,导 致算法求解不够稳定. 通常, 传统的活动轮廓分割方法大多数都是利用 L2 范数 测量图像信息之间的差异或者利用利用基于 L1 范数的正则 项约束分割结果.考虑 Bregman 全散度是一种更广泛的度量 形式[24] ,度量结果与坐标选择无关,在机器学习等领域有广 泛的应用[25] . 本文提出基于 Bregman 全散度的活动轮廓模型, 并构造了一个严格凸的能量泛函和一种有效的时间分裂格式 的全局最优解求解方法,避免在全局最优解的求解过程中产 生奇异值.分割对比实验表明,本文提出的分割方法在处理 图像噪声、弱边缘的情况下能得到预期的分割效果,且比基 于L2 范数度量标准的传统活动轮廓模型鲁棒性更强、 分割精 度更高.

1 Bregman 全散度 假设 是严格凸且可导的函数, 则Bregman 散度 定义为 (1) 其中 是函数 关于变量 的梯度, 表示内积, 、 ( 是闭的凸集) .在机器学习中,Bregman 散度常被 用来衡量数据之间的差异性. 但是该度量不具有旋转不变性. 后面,文献[24]在此基础上定义了 Bregman 全散度,具体为 (2) 称表达式 为Bregman 全散度. 相比 Bregman 散度, Bregman 全散度有旋转不变的特性. 如图

1 所示, 同一函数在不同旋转后的坐标系下, 发 生改变,而 保持不变.因此,Bregman 全散度在实际 应用中更具优势. 图1Bregman 散度和全散度 Fig.

1 Bregman divergence and Total Bregman divergence 从式(1)可以看出, 、 之间的 Bregman 散度是函数值 与该函数在 处的一阶 Taylor 展开之间的差.例如,常 见的欧式距离中 , , 之间关于 的Bregman 散 度分别为 , . 考虑任意指数函数 ,将其在 处Taylor 展开,有(3) 由式(1)(3)可计算出任意指数函数的 Bregman 散度为 ,该任意指数函数的 Bregman 全 散度为 ,其中 为Taylor 展开余项.

2 Bregman 全散度水平集方法 根据前面的分析可见,在图像分割中 Bregman 全测度可 以用作于数据拟合项的加权 L2 范数.基于 CV 模型和 TV 正 则项,构造如下用于图像分割的能量泛函: (4) 其中: , 为图像像素的位置.式(4)的第一项和第 二项分别是目标区域和背景区域的灰度拟合项(两项的和记 为),、分别是平衡目标和背景区域的非负系数.第 三项是 TV 正则项,约束分割轮廓的光滑型, 为其权重系 数.对于一副理想的二值图像,最终 , 分别等于目标和 背景的灰度值, 在目标区域取值为 1, 在背景区域取值为-1. 如图

2 所示, 当 表示的零水平集在如图红色线所示位置时, 分割能量拟合项趋于 0;

当其远离红色位置(如绿色曲线位 置)时,拟合能量远大于 0.故该分割方法可以形式化描述 如下: 给定能量优化模型 和权重参数 、 和 ,求解使其 最小化的 , 和 ,根据最优解 的正负号得到待分割目 标区域. 图2不同曲线位置对应的不同拟合能量说明 Fig.

2 Description of different fitting energies corresponding to different curve positions. 文献[26]指出,使用梯度下降法直接求解形如能量泛函 式(4)关于 的最小优化问题容易得到局部最优解.因此,引 用文献[26]的思想,在能量泛函式(4)中加入 L2 正则项,得到 如下能量泛函: (5) 其中 是非负常数.并且有如下结论: 结论 能量泛函式(5)是严格凸的,关于 具有唯一最优 解 ,且 为能量泛函式(4)的最优解. 证明 设是之间的任意常数,因为 , 则 .为了简洁,下面的每项证明中均去掉 无关项. 对于第一项,有 故该项关于 是严格凸的.同理可证: 录用定稿 李红蕾,等:Bregman 全散度水平集图像分割方法 第37 卷第