PDF《方差土壤溶质运移参数估计图解方法*》

3 ) ;

U0 和D0 是多孔介质中孔隙水流速度 (L T-

1 ) 和弥散系数( L2 T-

1 ) ;

R 是延迟因子( 无量 纲) , 用于考虑线性可逆的均衡吸附;

t 是时间(T) ;

第41 卷第5 期土壤学报Vol 41, No

5 2004 年9月ACTA PEDOLOGICA SINICA Sep. ,

2004 x 是空间坐标( L) .为了简便, 在穿透实验中, 使用 半无限外边界条件近似有限长土柱外边界: c( , t) =

0 (3) 溶质运移初始条件可定义为 c(x , 0) =

0 (4) 如果土柱中示踪剂初始浓度为 ci , 可以通过c ( x, t) = c( x, t) - ci 的简单变量替换关系将初始条件转 化为齐次式. 通过对方程( 1) 、 ( 2) 、 ( 3) 的Laplace 变换, 结合 初始条件( 4) 可以得到浓度解[ 1, 2] .但由于浓度与 时间之间的复杂关系, 不宜直接用于参数估计.参 数估计的确定性方法一般需要利用浓度对时间的 导数 dc dt = x t

1 5 D exp - x - Ut

2 Dt

2 (5) 或t1

5 dc d t = x D exp - x - Ut

2 Dt

2 (6) 在( 5) 和( 6) 式中, 浓度 c 为比浓度( c = c/ c0) ;

D= D0/ R , U= U0/ R .容易证明( 5) 和( 6) 式右边函数 随时间变化都是一条单峰曲线.在( 5) 、 ( 6) 式两边 对时间 t 求导得到 d c/ dt 和t1

5 dc/ dt 在x= L 处的 最大值出现的时间分别是 tm = (3D )

2 + ( UL )

2 - 3D U2 tm = x/ U, 如果在 x= L 处实测通量浓度ci ( i= 1, 2, ) , 运用一元三点插值方法[ 11] 计算观测点附近 ti +

0 5 和ti -

0 5 上浓度, 并由差分公式计算浓度对 时间的导数( 斜率) : dc dti = c( ti + 0.

5 ) - c( ti - 0.

5 ) / (7) 这里 是一个很小的时间增量.一般情况下, 仅由 浓度观测点的斜率计算参数, 信息利用不够充分. 因此, 以观测点上的浓度斜率为基本数据, 按照等距 时段( 如

2、

5 或10 min 为时间间距) 插值计算其他时 间点的浓度斜率, 并将斜率计算结果绘制成 t1

5 dc/ d t 和dc/ dt 随时间变化过程曲线如图

1 所示. 由于 t1

5 d c/ dt~ t 和dc/ dt ~ t 是单峰曲线, 每 一个 t1

5 dc/ dt 和dc/ dt 值都有两个时间点与之对 应( 图1) , 根据这一关系, 建立溶质运移参数估计模 型.首先, 在t15dc/ dt ~ t 曲线上, 依据同一个 t

1 5 dc/ dt值所对应的两个时间点tj 和tj 并构成等式 t1

5 j dc dtj = t

1 5 j dc d tj (8) 得到 (L - Utj )2 / tj = ( L - U tj )2 / tj 化简后得到 U = L tj tj (9) 由此根据 t

1 5 dc/ dt~ t 曲线的两点tj 和tj 得到参数 U 解析计算公式. 同理, 在dc/ dt~ t 曲线上取 dc/ dt 值相同所对 应的两点ti 和ti 并构成等式 dc dti = dc d ti ( 10) 经过类似的推导得到参数 D 表达式 D =

1 6 ( L2 - U2 ti t i)( t i - ti ) ti ti Ln( ti / ti ) (11) 再由( 9) 、 ( 11) 式计算延迟因子和弥散系数 R = U0 U (12) D0 = DR (13) 这里, 孔隙水流速度 U0 可以由 Darcy 实验测定.

2 误差分析 图解法的误差来自于浓度观测误差、 插值误差 和计算误差.因为图解法运用到浓度对时间的斜率 数据, 所以, 上述误差都反映到浓度斜率值 dc/ dt 上.设=dc/ dt 真值 - dc/ dt 计算 dc/ d t 真值 (14) 这里, 当dc/ dt 计算

0 时, 1;

dc/ dt 计算 时, - , 所以, ( 1, - ) .由式( 14) 得导数计算 值与真值的关系: dc/ dt 计算 = (1 - )dc/ d t 真值 (15) 在图解法中形成的 t1

5 dc/ dt~ t 和dc/ dt ~ t 曲线 是根据实测浓度通过插值计算得到, 通过该曲线上 纵坐标值相等的两点推导出参数估计公式, 因此, 参 数估计误差来源于( 8) 和( 10) 式中 dc/ dt 值.设在 ti 、 ti 和tj 、 tj 导数的误差分别为 i 、i 和j、j , 将(15)式代入到(8)和(10)式中得到: U2 = L2 tj tj - 4D tj - tj Ln