PDF《量子概率基础》

量子概率基础 Jake 集智俱乐部"量子决策理论读书会" 2012-1-8 预备数学知识 ? 复数运算 C Z=x+yi=rExp(iθ)=r(cosθ+i sinθ) C Z*=x-yi=rExp(-iθ) C ? 线性代数 C 向量 C 矩阵 C 内积 C 基向量 C 坐标变换 X Y X' Y' (x,y), 向量ψ x' y' θ 当概率变成复数 当概率变成复数 ? 虚数i进入物理学 ? 概率复数化与测量 ? 概率分布的向量表示 ? 让概率转起来!!! 概率复数化――一个游戏 ? 某事件的概率p(x):一个[0,1]之间的实数 ? 假如我强硬地让概率取复数: ? 并定义测量规则: ? 不会出现任何矛盾,但发现一个有趣的事实: ? 都表示同样的概率,但是θ可以取任何值 概率分布与向量表示 ? 概率分布就是指一组归一 化的实数,每个实数都是 一个互斥事件的概率 p(xi),∑p(xi)=1, xi,xj彼此互斥.

它可以写成向量: (p(x1),p(x2),p(x3),….,p(xn)) ? 也可以写成下面的形式 ? p1|x1>+p2|x2>+p3|x3>+…+ pn|xn> ? 其中|xi>表示空间中的一个 基向量 ? 注意:有n个互斥事件,对 应的空间就有n维p1|x1> p2|x2> p1|x1>+p2|x2> 思考:归一化条件∑p(xi)=1的几何 意义是什么? 复数概率分布的向量表示 ? 一组互斥事件的复数概率 ? (ψ(x1), ψ(x2), ψ(x3),…., ψ(xn)) ? 并满足归一化条件: ∑|ψ(xi)|2=1 ? 也可以表示成向量: ? |ψ>= ψ1|x1>+ψ2|x2>+…+ ψn|xn> ? =|x1>+|x2>+ …+|xn> Ψ 1|x1> ψ 2|x2> |ψ >=ψ 1|x1>+ ψ 2|x2> 思考:归一化条件∑|ψ|2=1的几何 意义是什么? 牢记:一组基向量|xi>表示一组互斥事件 几何表示 p(x1) p(x2) p(x3) 经典概率:归一化∑p(xi)=1 意味着所有的概率取值构成了单纯形 经典概率:归一化∑|ψ(xi)|2=1 意味着所有的复数概率取值构成了球面 注意,每个坐标ψ(xi)都是复数,原则上 画不出来 ψ(x1) ψ(x2) ψ(x3) 让概率转起来 ? 称X-Y属性和X'-Y'属性构成不兼容属性对 ? 只有复数概率才能旋转 X Y X' Y' (x,y),向量|ψ> x' y' θ 在新的坐标系X'O'Y'下,向量还是那个 向量,长度不变,因此新坐标系下仍 然保持归一化条件,因此: 所以,要求矩阵U满足: 盒中的量子萤火虫 ? 两套互斥事件: ? |U>, |D> ? 和|L>, |R> ? 假设上下属性和左 右属性不兼容,那 会出现什么情况呢? 盒中的量子萤火虫 ? 假设当前的萤火虫处于状态: ? 假设LD属性和UD属性的夹角是 ? 那么你在LD测量,就能得到: ? 思考:如果初始状态是 ? 会得到LD测量的分布是什么? 不兼容属性对与不确定性原理 量子概率的本质 ? 对叠加态的理解 ? 我认为从单个变量的概率分布来看,叠加态和 概率混合态没有可观测的区别 ? 量子概率与经典概率的唯一区别就是不兼容属 性对,即概率基向量的旋转. ? 量子运算法则定量刻画了两个概率分布之间的 联系,即U,D基到L,R基的坐标变换,这是一个 仅与2个属性有关系的常量矩阵 量子力学 ? 在量子物理中,位置坐标x和动量p构成一对不兼容属性对. ? 粒子所在的状态空间为无限(不可数)维希尔伯特空间.任意状态(分布) 可在坐标x表象下表示: |ψx>=(…. ψ(x- ε), ψ(x), ψ(x+ε),….)=∑ψ(x)|x> ? 同样,它在动量表象下的状态向量为(体现为动量p上的概率分布): ? |φ p>=(…. φ(p- ε), φ(p), φ(p+ε),….)=∑φ(p)|p> ? 并且,量子力学说位置和动量构成不兼容属性对,也就是说向量|φp>=U|ψx> ? 其中U是一个 维的无穷矩阵 按照矩阵的乘法规则(把求和号换成积分号),你能得到傅利叶变换! 傅利叶变换从本质讲就是一种坐标变换! 不确定性原理 ? 不确定性原理只针对不兼容属性对才成立. ? 该原理说对于一个属性的测量越精确,对 于另一个属性的测量就越不精确. ? 翻译成概率语言来说就是:对于一个属性 的概率分布越集中,那么它的不兼容属性 上面的概率分布就会越发散,因为两者的 概率分布构成了固定的坐标变换. 图解不确定性原理 45o 设两个属性对UD和LR构成了不兼容属性对,它们之间的夹角是45度UDLR图解不确定性原理 45o 考虑一个概率分布在UD坐标下构成1|U>+0|D> U D L R 图解不确定性原理 45o 那么它在LR坐标下的投影就是 ,出现最不确定的概率分布(1/2,1/2) U D L R 图解不确定性原理 45o U D L R 同样的道理,在UD下完全不确定的状态分布(1/sqrt(2),1/sqrt(2))在LR下则是完全确定的 不确定性与夹角有关 θ U D 不确定度正比于两个坐标的对易子A*B-B*A 量子测量 ? 假设有两组基: ? (|B>,|G>)和(|F>,|A>) ? 分别对应分类 和决策两个不 兼容属性对 B G 人脸图片 F A 分类 决策 S 量子测量 B G 人脸图片 F A 分类 决策 S B A F G 量子测量 B A F G 条件1:直接测量A或者F 量子测量 B A F G 条件2:先测量B或者G 量子测量假设 B A F G 条件2:测量后状态向量发生变化 量子测量 B A F G 条件2:再测量A或者F 测量的不可交换性 B A F G 条件2:先测B,G后再测量A,F得到的状态与先A,F 后B,G不一样 对双缝干涉实验的几何解释 B A F G 量子能否还原成经典? 对于萤火虫的例子 ? UD上的测量: ? 和L,R上的测量: ? 它完全可以用经典的联合概率密 度来模拟,即: L R U 1/8 3/8 D 1/4 1/4 对于萤火虫的例子 ? UD上的测量: ? 和L,R上的测量: ? 它也可以用经典的联合概率密度 来模拟,即: L R U a11(x,y,θ) a12(x,y,θ) D a21(x,y,θ) a22(x,y,θ) 因此,只要找到依赖于分布(x,y)的联合概率就能模拟量子概率,但是量子概率 显然更简洁, θ不随U,D上的分布而变 量子概率特殊的限制 ? 注意从一组基到另一组基的变换是酉变换 注意aa*就是从U到L的转移概率,bb*是从U到D的转移概率,…… 因此,在2维情况下,量子概率要求转移概率矩阵对称 这在一般的心理实验中并不一定被满足 量子概率特殊的限制 ? 注意从一组基到另一组基的变换是酉变换 注意aa*就是从U到L的转移概率,bb*是从U到D的转移概率,…… 因此,在2维情况下,量子概率要求转移概率矩阵对称 这在一般的心理实验中并不一定被满足 小结 ? 量子概率从数学上比经典概率多出的东西 就是旋转 ? 测量就是把向量往一个坐标系下投影 ? 不兼容属性对必然蕴含不确定性原理 ? 量子概率与经典概率的差别: C 经典概率满足全概率公式 C 量子概率要求条件概率具有对称性,但这条过 于严格,通常不被满足.