PDF《2018 年北京市海淀区高三期中数学（文科）考试逐题解析》

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9 17. (本小题满分

13 分) 如图,在四边形 中, (I)求 的值;

(II)若是的角平分线,求 的长. 【解析】 (I)在 ,由余弦定理 , 把,,

代入可得 , 因为 ,所以 . (II)法一: 在中,由余弦定理可得, , 所以 , 是 的角平分线, 所以 . 所以 . 因为 , 所以由(I)可得 , 在中,由正弦定理可得 , 可得 . 北京新东方优能中学&

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10 法二: 因为 是 的角平分线,所以 , 根据正弦定理,在中, , 在中, , 因为 ,且,所以, . 北京新东方优能中学&

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11 18. (本小题满分

14 分) 已知函数 . (I)当时,求函数 的单调区间;

(II)求证:直线 是曲线 的切线;

(III)写出 的一个值,使得函数 有三个不同的零点.(只需直 接写出数值) 【解析】 (I)函数 的定义域为 , 当时, , 所以 ,令得,.当变化时, , 的变化情况如下表:

0 0 + J 极大值 K 极小值 J 所以函数 的单调递增区间为 , , 单调递减区间为 (II)因为 ,令,解得 , 而 ,曲线 在点 处的切线方程为 , 即 所以无论 为何值, 直线 都是曲线 在点 处的切 线. (III)取 的值为 . 这里 的值不唯一,只要取 的值小于 即可. 北京新东方优能中学&

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12 19.(本小题满分

13 分) 已知数列 的前 项和为 ,且.(I)求 的值;

(II)求证: . 【解析】 (I)因为 ,所以 , , . (II)法一:因为 , 当时,因为 , 当 为偶数时, ,当 为奇数时, , 当 为奇数,且时, , , 所以此时 ,所以 , , , 所以 . 又 ,所以 . 法二:因为 ,当时,因为 , 当 为偶数时, ,当 为奇数时, , 所以 是以 为首项,公差为 的等差数列, 是以 为首项,公差为 的等差数列, 所以 , , 所以 ,所以 . 北京新东方优能中学&

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13 20.(本小题满分

14 分) 已知函数 . (I)求函数 的极值;

(II)求证:当时,存在 ,使得 . 【解析】 (I)函数 的定义域为 ,且,因为 , 令 ,得到 . ①当时, 变化时, , 的变化情况如下表: K 极小值 J 所以函数 在 处取得极小值 . ②当时, 变化时, , 的变化情况如下表: J 极大值 K 所以函数 在 处取得极大值 . 北京新东方优能中学&

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14 (II)当时,由(I)可知, 的最小值是 , 所以 存在 ,使得 等价于 , 而,设,则,令,则 , J 极大值 K 当时, , 单调递增, 当时, , 单调递减, 所以 的最大值为 , 所以 , 所以结论成立. ........