PDF《数学教科书例题的分类及其教学建议》

1 具体说明. 案例 1:已知角 α 的终边经过点 P(2, -3),求α的正弦、 余弦、正切值[14] . 3.1 形成产生式 联系三角函数的定义, 从定义的陈述性表征形式中联结 到关键字词(坐标、距离和比值) ,执行系列操作:写出点 的横坐标 x 和纵坐标 y、计算距离 r、计算比值.当3个动 作都被成功地执行后, 相互间的联系将会得到加强, 各个动 作的联系也会更多地依靠前后动作的匹配, 进而形成无意识 的动作技能,即形成了以产生式表征的程序性知识.此时, 陈述性意识特征将逐渐淡化. 另一方面,教师规范板书 Q 型例题的解答过程,其意 义在于:① 可视化 动作 的一步步分解演示,有利于形 成正确的产生式;

② 规范表达的示范, 是学生模仿的榜样;

③ 为P型例题的规范表达奠定基础.解答过程规范表达的 基本要求:① 要有开始和结束的标记.如:解或证明,给 出结论.② 推理过程具有逻辑性和严谨性,不仅符合学生 万方数据

56 数学教育学报第27 卷 学习的认知序,也要顺应数学发展的逻辑序.③ 书写过程 具有简约性.形式上按照三段论书写(大前提常常省略不 写) ,尽量运用数学符号语言表征;

格式上参照古诗词,尽 量使用短句子表述,标点符号准确使用. 3.2 产生式自动化 平行变式:改变点 P 坐标(静态的) ,比如(-3, 4),(0, 5),等等.此时,变式问题表面形式重复,认知负荷基本保 持不变. 通过对表面形式特征的重复, 经验得到不断重复. 重 复的意义在于始终保持了概念本质关系特征 (角终边上一点 的坐标确定,三角函数值随之确定)不变,至于 点坐标的 改变 会慢慢淡化,核心是突出了不变特征.第二次的经历 丰富并加深了第一次经历的各个方面,产生式得到重复. 垂直变式:让点 P 运动(动态的) ,比如 已知角 α 的 终边落在直线 y=3x 上, 求α的正弦、 余弦、 正切值 [14] . 变 式问题表面结构发生变化, 融入策略性知识, 学生认知负荷 随之增加.其表面形式变化:角的终边落在确定直线上,点P 消失 了!形式变化背后蕴含深层特征:恰恰不是点 P 消失,而是任意多个共线点 P,只要选取其中一个点 P 作为 代表;

另一方面,正是由于点 P 任意多,需要分类求解, 渗透策略性知识. 通过两次变式,学生逐步摆脱陈述性知识的提示的依 赖, 一旦技能具有程序化的特征时, 学生就不再需要停顿下 来考虑下一步做什么, 相反, 对下一个执行动作的有意识的 搜索将被自动的匹配过程所取代,即产生式达到自动化 水平. 3.3 形成产生式系统 螺旋变式:从定义的等价性视角(结构的) ,比如 已 知角 α 的终边经过点 P( x - ,

6 - ),且13

5 cos - = α ,求x的值 [14] .这里的变式既有平行变式(点P坐标的重复) ,又 有垂直变式(增加新的条件:比值确定) ,但变式背后不变 的核心轴是三角函数的概念结构. 始终围绕三角函数概念的 结构化理解:x、y 比值之间的相等关系,用方程观念统领, 化归为 知二求一 ;

另一方面,有序实数对(x, y)确定,比 值随之唯一确定;

比值确定,有序实数对(x, y)无穷多对.不 难看出,问题的求解方法蕴含于概念之中.通过螺旋变式, 将两个产生式 (求三角函数值和解方程) 联结组合形成一个 产生式系统.同时,经历

3 个层次的变式后,形成对三角函 数概念的关系性理解, 丰富了概念图式, 促进认知结构的完 善.如图