PDF《费米液体 （Fermi Liquid）》

费米液体 (Fermi Liquid) 林秀豪 清华大学物理系 E-mail: hsiuhau@phys.

nthu.edu.tw 什麽是费米液体? 本期双月刊的主题乃是以超导物理为主题,此 篇短文是介绍系统变成超导前的正常态(normal state),也就是一般金属的相态.在金属中,电子 之间的交互作用是相当大而不可忽略的. 然而就很 多方面而言, 一般金属和完全没有交互作用的自由 系统却十分相像,这有趣的现象正是促使费米液体 理论开始发展的起因之一. 什麽是费米液体呢?如 果一个系统可以由下列的汉米顿量来描述的话, 我 们就称之为费米液体 (1) 其中 n(k) 是带有动量 k 的电子密度算符.让我们 好好研究一下这个汉米顿量,第一项是很单纯的动 能,第二项则是电子之间的交互作用.如果没有第 二项的话,这系统就简化成所谓的费米气体(Fermi gas),即便它有时和一般人熟悉的气体可能相去甚 远. 看到这儿,你可能已经察觉,粒子间的交互作 用可以千奇百怪,为什麽只考虑粒子密度-密度交 互作用(density-density interaction)呢?如果你立刻 猜出这是因为如此一来,我们这群有些低能的凝态 物理学家就会解出这个问题,那你真的是很有物理 天份!一般而言,粒子交互作用应包括以下种种型 式(2) 我省去了电子自旋的标示, 免得复杂到令你倒尽胃 口.这些交互作用的物理图像是颇简单的 ― 原先 带有动量 k3,k4 的电子们经由交互作用 V(k1,k2;

k3,k4) 被散射至相空间里不同的动量 k1,k2 去.其中的狄 拉克函数(Dirac delta function)是用来保证总动量是 守恒的.念物理的一项重要常识是,很容易随手写 得下来的汉米顿量,大多都不太好惹.基本上式子 (2)可以用来描述的系统太广泛了,於是并不存在 一个通解.那为什麽我们独厚式子(1)中密度-密度 的交互作用,而把式子(2)中其它的交互作用都扔 掉呢?这问题可以用一个相当简洁的相空间论点 (phase space argument)来加以了解. 相空间论点 为了t解不同交互作用的重要性, 我们可以用

622 物理双月刊(廿四卷五期)2002 年10 月 重整化群(renormalization group)的角度来看.重整 化群是一种t解系统基态及其附近激发态的一种 手段, 可以用来分辨不同交互作用对一个系统的基 态及附近激发态的重要性.由重整化群的计算得 知,一个交互作用的重要性与其在相空间中所占的 区域大小成正比.因此,只要能估算出一个交互作 用在相空间中所占的区域大小,即可得知哪一些交 互作用是可被忽略, 而哪一些是扮演著不可取代的 角色.首先,假设温度不是很高而且交互作用也不 是顶强.如此一来,只有在费米表面(Fermi surface) 附近的电子们才是活蹦乱跳的;

离费米表面太远的 电子们,因为在低温下而死气沉沉,并不会影响到 系统在基态附近的物理行为. 图一 在一般情形下,交互作用可允许的相空间大 小 考虑两个电子们分别以动量 k3,k4 入射,它们可以 被散射到相空间哪些区域去呢?由於动量守恒, 加 上只有费米表面附近才有贡献,可以被允许的区域 是相当狭小的(见图一) .基本上只有在球心相距 P= k3+ k4 且两个球面相交附近的区域,才有满足动 量守恒的活跃电子们. 惟一例外的情形是当总动量 为零时,P = k3+ k4 =0.在这特别的情形下,原先 一点点狭小的区域,由於两个球面重叠,可允许的 区域一下子变成了整个球面.根爸卣旱 结果, 由於这一特殊的交互作用在相空间中所占的 区域很大,它对於基态及附近激发态是十分重要 的.事实上,它重要到有个名字叫 BCS 交互作用. (3) 此交互作用描述一对电子(k,-k)被散射成另一对电 子(k'