PDF《费米液体 （Fermi Liquid）》

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),因此有时亦被称为电子对跃迁项(pair hopping term). 另一种类型的交互作用则是考虑一个电子以动 量k3 入射 ,之后被散射至动量 k1 去的种种可能性. 这和前面的例子十分类似,在一般的情形下,若动 量转换 Q = k1- k3 不为零,允许的相空间是相当狭 小的.但若动量转换 Q = 0,相空间一下子变成了 整个球面.此时对应的交互作用为 (4) 这密度-密度交互作用就是式子(1)中的主角.由於 它描述电子们以动量(k,k'

)入射,但散射后的动量 并无改变,因而被称为前冲散射(forward scattering). 到了这个地步,式子(1)中的交互作用已从芸芸 众生中脱颖而出,只剩下惟一可敬对手 BCS 交互 作用.很不幸地(或应说幸运地) ,像过河卒子一 般勇猛的前冲散射有时也敌不像战马一样四处乱 跳的电子对跃迁.一般而言,如果电子间交互作用 是吸引的,则电子对跃迁的胜算较大,所导至的相

623 物理双月刊(廿四卷五期)2002 年10 月 态即是一般人熟悉的超导体(本期双月刊的主 题) .反之,如果电子间交互作用是互斥的,则是 前冲散射的赢面较好,而导至的相态就是费米液 体.如此说来,由电子之间的交互作用所导至的相 态岂不是只有超导体和费米液体?事实不然,别忘 了在一开始我们就引入了低温及弱交互作用的假 设.在此文末尾,我会讨论当交互作用很强时,费 米液体会变得不稳定而转换成另一有趣的相态. 现 在就让我们看看在费米液体中有什麽鲜事发生 吧! 平均场近似 由於我们只考虑温度低及交互作用弱的情形, 粒子的密度分布函数和自由电子气的费米分布函 数是相去不远的.方便起见,可引入密度改变量为 变数 (5) 经过一番计算及简化, 原先的汉米顿量可由密度改 变量表示出来 (6) 第一项是重整化了的粒子能量,第二项则是粒子间 的交互作用. 你可以看到粒子间的交互作用和之前 式子(1)一模一样,但粒子的能量不再是原先的样 子,而是由下面的式子来描述了! (7) 图二 交互作用下粒子能量重整化的示意图 这是因为当我们多放入一只电子进入系统时,除了 原先的动能外, 还要加入整个费米表面内电子们的 交互作用项 (见图二) .所以,最后在一阵骚动后, 这系统和原先的比起来,并不是多了一只(我们熟 悉的)电子,而是一个和电子拥有相同量子数的粒 子(quasi-particle).基本上,这个粒子可以被视为原 先的电子在加上其它电子们的骚动(density fluctuations).你可以想见,这粒子和原先的电子可 以是非常不同的 (想像一下阿妹被一群热情的歌迷 包围下,走起路来和平时一定有天南地北的差 距) .如果我们不仅放进一只电子,而是一次好几 只,这问题就更烦复了(见图二最右部分) .我们 进一步引进平均场假设来处理粒子间的交互作 用,将密度改变量由其平均值取代,则粒子的能量 就变成 (8) 由於粒子的能量隐含了粒子本身的分布函数,因此 可以用自洽(self-consistent)的方式解出.式子(8)是 一般描述费米液体中粒子能量最常见的表示方 式,而其物理图像可以由图二清楚看出之间的来龙 去脉.

624 物理双月刊(廿四卷五期)2002 年10 月 一旦知道了费米液体中粒子的能量关系式,就 可以用以计算种种不同的物理量. 由於一般书本及 文章都有详述,请原谅我偷个懒略去这些细节.我 想整个费米液体理论的卖点在於一个类似电子的 粒子存在,而使得费米液体和自由系统并没有太大 的不同 . 这麽好的事情 , 当然不会放诸四海皆准 (否 则我就失业了) .在下一段中,我们将看到费米液 体有时会不稳定,而另一类型的物态可能取而代 之. 磁不稳定性 如果粒子之间的交互作用变强的话,费米液体 往往会不稳定, 系统的基态可能会转变至完全不同 的物相去.在此我举出一个有关费米液体中磁不稳 定性的例子.考虑电子间的交互作用是短距的,则 哈柏模型(Hubbard model)是非常恰当,其汉米顿量 包含两项 (9) 第一项描述的乃是电子们的动能, 而第二项则是描 述电子们如果靠近的话会有排斥的交互作用.如果 第一项远大於后者,电子们会想办法散开成平面 波,以降低动能.反之,如果排斥的交互作用远大 於前者,电子们会尽可能避开彼此,即使多花一些 动能也在所不惜.怎麽样可以让大家彼此躲得远远 的呢?简单,如果空间部份的波函数是反对称,那 麽电子们撞见彼此得机会就会少了很多. 根衙 统计,整个波函数必须是反对称,如此一来,自旋 部份就会是对称的.那也就是说,整个系统会有不 为零的自旋(见图三) . 很神奇吧!电子之间的短程排斥力, 居然有造 就自旋不为零基态的倾向. 这个有趣的结果亦可用 较严谨的数学来理解.让我们引进平均场假设,自 旋向上的电子会因为受到自旋向下的电子们的排 斥作用,能量因而升高.反之,对於自旋向下的电 子亦有类似的效应. 图三 电子间交互作用引发的自发性自旋对称破坏 用句比较炫一点的术语就是,电子的能量受到重整 化了.其重整化后的结果如下 (10) 请注意自旋向上及向下的电子,不见得有一样的能 量了.事实上,我们待会儿就可以看到的确存在向 上及向下的平均自旋不相等的解答.利用式子 (10),可以直接计算这系统在磁场下的反应.在一 番计算之后,可以得到下面的结果 (11)