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§2.

6 单电子(H)原子―量子数的物理意义 (1) 主量子数 n 和氢原子能级 1/2

2 0

4 2 e m Ze n E πε ? ? = ? ? ? ? ? ?

2 2

2 2

0 1

2 4 e n m Ze E n πε ? ? = ? ? ? ? ? ? ( )

2 2

2 0

0 4

2 e Z a n πε = ?

2 2

2 2

1 2 e Z m c n α = ? 氢原子能量是量子化的, 与Bohr理论结果一致;

1,2,3, n = ? 氢原子能量取决于量子数 n,称为主量子数;

§2.6 单电子(H)原子―量子数的物理意义 氢原子能级图 对于给定的量子数 n, 0,1,2, ,

1 l n = ? ? 0, 1, 2, m l = ± ± ± ? 对于量子数 l, 共有:

1 2

0 (2 1) n l l n ? = + = ∑ 个不同的状态. 它们都有相同的能量,称它们是 n2 重简并的. §2.6 单电子(H)原子―量子数的物理意义 (2) 轨道量子数(角量子数) l和轨道角动量的大小

2 2 1) ( , ) lm lm L Y l l Y θ ? θ ? = + ? 两边同乘 Rnl (r)

2 2 ? 1) nl lm nl lm R r L Y l l R r Y θ ? θ ? = + ?

2 2 1) nl lm nl lm L R r Y l l R r Y θ ? θ ? = + ?

2 2 1) nlm nlm L u r l l u r θ ? θ ? = + ? ( , , ) nlm u r θ ? 所以 是 的本征态,相应的本征值为

2 ? L

2 ( 1) l l + ? 量子数 l 描述电子做轨道运动角动量的大小,称为轨道角动量量子数, 简称轨道量子数或角量子数. ( 1) L l l = + ? 0,1,2, ,

1 l n = ? ? 角动量可以等于0 比较Bohr的量子假设: L n = ? §2.6 单电子(H)原子―量子数的物理意义 (3) 磁量子数 m 与轨道动量的z分量 ( , ) (cos ) m im lm lm l Y N P e ? θ ? θ = 角向函数是球谐函数 ) , ( ) , ( ? ? θ ? θ lm lm z Y m Y L ? = ?z L i ? ? = ? ? ? 两边同乘 Rnl (r),得 z nlm nlm L u r m u r θ φ θ φ = ? ( , , ) nlm u r θ ? 所以 也是 的本征态,相应的本征值为 m? ? z L 量子数 m 描述电子轨道角动量 z 分量的大小,称为磁量子数. z L m = ? 0, 1, 2, m l = ± ± ± ? §2.6 单电子(H)原子―量子数的物理意义 (4) 角动量矢量 L L 经典角动量 经典的角动量矢量: 大小和方向可以取任意值. 量子的角动量矢量: 大小量子化: 方向 ( 1) L l l = + ? 0,1,2, ,

1 l n = ? ? z L m = ? 0, 1, 2, m l = ± ± ± ? 但可以证明 Lx, Ly 没有确定取值

0 x y L L = = 量子角动量的矢量模型 L x y z L z L §2.6 单电子(H)原子―量子数的物理意义 (5) 空间取向量子化 ( 1) L l l = + ? z L m = ? 0, 1, 2, m l = ± ± ± ? 对于给定量子数 l, Vector Model for Orbital Angular Momentum L x y z L z L θ cos z L θ = L 0, ,

2 cosθ ± ± = ? ? L §2.7 跃迁和选择定则―原子定态 Bohr/Rutherford的氢原子 Schr?dinger/Born的氢原子 (1) 假设定态不辐射;

(2) 定态跃迁产生光谱. 原子塌缩 (1) 定态:u(r) 电子的概率分布不随时间变化

2 ( ) u r

2 ( ) ( ) e u ? r 电荷分布不随时间变化 定态不辐射 §2.7 跃迁和选择定则―电偶极跃迁 + - + - + - 激发电偶极振荡 辐射相同频率光子 原子处在定态 经典的电偶极振荡,其电偶极矩 其辐射的平均功率为

0 0 ( ) ( ) sin sin e e t t ω ω = ? = ? = p r r p

4 2

0 3

0 12 P c ω πε = p 跃迁速率

3 2

0 3

0 6 P h hc ω λ ν ε = = p §2.7 跃迁和选择定则―电偶极跃迁 + - + - + - 激发电偶极振荡 辐射相同频率光子 原子处在定态 在量子力学中,考虑初态到末态的跃迁 ψi → ψf ui uf * ( ) e e d ψ ψ τ = ? = ? ∫ p r r 电偶极矩的平均值 跃迁过程中,原子处于初态和末态的叠加态 / i iE t i i u e ψ ? = ? / f iE t f f u e ψ ? = ? i i f f c c ψ ψ ψ = + Ei Ef §2.7 跃迁和选择定则―电偶极跃迁 + - + - + - 激发电偶极振荡 辐射相同频率光子 原子处在定态 ui uf * e e d ψ ψ τ = ? = ? ∫ p r r ( )( ) i i f f i i f f c c c c ψ ψ ψ ψ ψ ψ = + + / i iE t i i u e ψ ? = ? / f iE t f f u e ψ ? = ? 其中 * * * * i i i i f f f f c c c c ψ ψ ψ ψ = + * * * * i f i f i f i f c c c c ψ ψ ψ ψ + + * * * * i i i i f f f f c c u u c c u u = + * * * * i f i f i E E t i E E t i f i f i f i f c c u u e c c u u e ? ? ? + + ? ? Ei Ef 电荷分布以频率 ν 振荡 i f E E h ν ? = Bohr频率规则 §2.7 跃迁和选择定则―电偶极跃迁 + - + - + - 激发电偶极振荡 辐射相同频率光子 原子处在定态 跃迁速率