PDF《知识, 技巧与想象力》

知识 知识, , 技巧与想象力 技巧与想象力 刘克峰 刘克峰 浙江大学 浙江大学 加州大学洛杉矶分校 加州大学洛杉矶分校

2007 2007年年5 5月月18 18日日内容 回顾 回顾:研究生 :研究生阶段的学习与 阶段的学习与研究生活.

研究生活. 感悟 感悟:与 :与朋友们 朋友们合作的 合作的愉快经历. 愉快经历. 收获 收获:在杭州学习研究的 :在杭州学习研究的一些成果 一些成果简介. 简介. 对话 对话:与同学们交流成功与失败的经验. :与同学们交流成功与失败的经验. 在国内工作三年多了,接触了许多中学生, 在国内工作三年多了,接触了许多中学生, 大学生和研究生.为了吸引优秀的学生到数学中 大学生和研究生.为了吸引优秀的学生到数学中 来,我与他们进行了许多的对话与交流,这引发 来,我与他们进行了许多的对话与交流,这引发 了我从各方面对数学教育的思考.迄今已有许多 了我从各方面对数学教育的思考.迄今已有许多 文章对我们的教育体制提出批评,认为它扼杀了 文章对我们的教育体制提出批评,认为它扼杀了 学生们的想象力.但我觉得我们的教育从中学起 学生们的想象力.但我觉得我们的教育从中学起 就过分强调技巧,根本没有开拓学生的知识面才 就过分强调技巧,根本没有开拓学生的知识面才 是根本的弊病.见多才能识广,而没有宽广的知 是根本的弊病.见多才能识广,而没有宽广的知 识面,想象力就是无源之水.在中学里,以奥数 识面,想象力就是无源之水.在中学里,以奥数 为甚的题海战术使学生忘记了做题的目的是为了 为甚的题海战术使学生忘记了做题的目的是为了 理解知识,只是机械地为做题而做题,不是为个 理解知识,只是机械地为做题而做题,不是为个 人的喜欢与好奇心. 人的喜欢与好奇心. 在大学里,有些老师的知识就过于陈旧和 狭窄,而且不努力学习新的知识,更不可能拓 宽学生的知识面了.许多学生也动辄以能做上 万道习题为荣,或者早早就把自己限制在某个 狭窄的研究方向.这样的教育只能培养给别人 打工的工匠,不可能培养出真正的科学家.我 觉得对数学专业的学生而言,要首先拓宽眼 界,不仅在数学里的各个学科之间,更包括物 理等相关学科,然后再尽可能地融会贯通,激 发出想象力.希望我自身的经历与体会能起到抛 砖引玉的作用. 我将结合自己的治学经验讨论一下 知识的重要性以及知识,技巧与想象力 的关系,并讨论一下我学习研究过的几 个不同的问题.从我读研究生开始,我 的工作就一直围绕着物理学中出现的几 何与拓扑问题.物理学家需要数学作为 工具,反过来他们又借助物理理论提出 数学上的猜想,虽然物理学家的推导很 多时候是不严格的,但是这些猜想往往 最后都被证明是正确的.这是非常令人 感到惊奇的! 为了解决物理学家提出的数学猜 想,我们发展了全新的数学理论,发 现了不同数学分支之间意想不到的联 系.这些数学上的革命又为物理学的 继续发展提供了严格的理论基石. 数学和物理学的相互交织造就了科学史上的 多次革命,大家熟知的有: * 微积分与牛顿力学定律 * 广义相对论与黎曼几何 近年来的大小例子更是层出不穷, * 量子场论与指标理论结合的椭圆亏格刚性定理 * 共形场论给出的模空间Verlinde公式 * Yang-Mills场与4维拓扑 * 陈-Simons理论与3维拓扑、纽结理论 * 弦理论中镜像对称与Calabi-丘空间的镜公式 * 陈-Simons理论、Calabi-丘空间与Gromov- Witten不变量的Marino-Vafa猜想 * 弦理论与Ricci流、3维拓扑的关系 * 镜像对称与数论的关系 等等. 近20年数学菲尔兹奖得主的获奖工 作,有一半与量子场论、弦理论有关. 无论你研究哪一个方向,总会在弦理论 中找到用武之地.而弦论学家们也贪婪 和迫不及待地注视着数学中每一点一滴 的新进展,迅速地理解并应用到他们的 理论中去.这种交流激发了数学与物理 学无尽的活力.这也使得我们有理由猜 测:上帝根据数学公式创造了世界?但 毫无疑问,数学是开启大自然的钥匙. 要指出的是,物理学家对数学 的贡献不仅仅限于预测数学结论. 很多时候,他们也用严格的数学语 言为我们指出数学上重要的研究对 象.Witten和Vafa是两位杰出的代 表,他们的数学甚至要好过绝大部 分数学家.有人形容他们就像从未 来时空穿梭回来的一样,只记住了 未来数学支离破碎的景象,凭着记 忆叙述出来,成了挑战当代数学家 的猜测. Witten Vafa 物理学家学习数学的方式也许值得 我们借鉴,Witten他们大概从来不做数 学习题,但却用最快的速度学到他们所 需要的数学.哈佛大学数学教授Taubes 曾说, 物理学家先学指标理论,然后才 是黎曼几何 .我觉得我们数学家不仅要 时刻留意物理学的发展,更要注意物理 学家掌握知识的技巧,那就是在研究中 学习,在学习中研究. 物理学家特别青睐 无穷 ,甚至有时 候不惜以牺牲 严格性 作为代价,比如 SL(2,Z) 对称,大N极 限的陈-Simons理论,路径积分.虽然Feynman的路径积分 还缺少严格的数学基础,该理论因其物理 上的直观性和便于形式演算在现代量子物 理中产生了深远的影响.正所谓 妙在无 穷,美即有用 .这种不严格也给了他们 无穷的想象空间. 那么我们应该如何学习数学呢? 与丘先生和杭二中学生泛舟西湖 我去美国留学时,随身只带了两本书,一本 是丘成桐与Schoen著的 微分几何 ,一本是 Gilbarg与Trudinger的 二阶椭圆偏微分方程 . 我想在分析与几何里大展身手,就不需要学习别 的了.1988年9月底,我走进丘成桐先生的办公 室,开始了我在哈佛的学习生活.他问我,想开 始做研究,还是继续学更多的数学.我回答想开 始做研究.可是丘先生对我说, 你要尽可能多 地学习数学,因为毕业以后要想学什么新东西都 不容易了. 他让我学习代数几何,代数数论, 几何分析……有许多内容直到今天我仍然无法完 全理解.但这却深刻影响了我的学术生涯和人生 轨迹.在当上教授以后,繁重的教学和科研压力 让我体会到丘先生的话是多么的语重心长. 知识与技巧,到底哪一个更加重要 呢?我的观点是,对年轻人而言,知识更 重要!知识让我们站得更高,看到正确的 方向,因为方向错了,一切努力都不会有 结果.但是也要承认,研究中关键的突破 往往来自于技巧上的创新.做个比喻,一 个武林高手,学了很多门派的武功,但是 内功不行,就容易走火入魔.大家知道丘 先生在众多数学领域都有开创性工作,得 益于他极强的分析功底及广博的知识面. 现在国内热衷的中学生数学竞赛,就太过 于强调技巧. 其实我们的学生从中学开始就应该接受多方 面知识的熏陶,让孩子多看名人传记,培养对科 学的好奇心才是上上之策.我最近读的牛顿传记 就写得非常精彩.正是由于好奇心,牛顿大学二 年级给自己提出了几十个有关大自然的问题,为 了解决它们,他发展了微积分作为基础,进而发 展了三大物理定律. 下面我将联系自己的经历讨论拥有宽广知识 面的重要性,数学与物理及其它学科交叉的必要 性,以及与朋友学术上交流的好处. 我在中国科学院研究生院读书 时,同学中有张伟平,周向宇,现 在都成了国内最杰出的青年数学 家.那时很少有机会能听到前沿的 课程.我们自己组织讨论班,报告 陈类,指标理论,Mordell猜想…开 始还无法完全弄明白,但是却开阔 了眼界,至少知道了什么是 好的 、值得学习的数学. 张伟平 周向宇 这对每个人来说都是非常重要的,我 们需要培养自己对于数学的鉴赏力.如果 你还是无法确信什么是好的数学,那么就 去读大数学家的著作和文章,跟着大师走 总是没错的.后来在我研究中成为重要工 具的局部化思想也是在国内学习与做硕士 论文期间掌握的.后来我用局部化思想来 理解我所学到的一切数学知识,就像用一 根线串起了许多珠子. 从我来到哈佛大学开始,让我感触最 深的就是那里教授和学生勤奋工作的作 风.现在国内最缺少的正是这样一种风 气.一流的大学其实就是这样........