PDF《—以初中数学 —— “方程与函数内在统一性探讨”》

教学月刊・中学版 教学参考 2017/1 ・

2 ―― ―以初中数学 方程与函数内在统一性探讨 为例 高金德 徐铎厚 (临沂青河实验学校, 山东临沂

276000 ) 摘要: 相对于知识的线性展开, 知识间的整合对学生的思维发展具有更大的价值.

因此, 教 师要开发整合课程, 以帮助学生整合不同知识, 促进思维方式的转变和跃迁, 发现知识之间的内 在统一, 使貌似互不相容的 天堑 因变换解决问题的角度而成为 通途 . 关键词: 知识整合;

方程;

函数;

思维跃迁 课程内容的编排和教学过程的推进, 一般 都按照由简到繁、 由低级到高级、 由直观到抽 象的循 序 原则进行.这对于线性知识的学习 非常有利,但当遇到知识间跨度较大的情况, 师生则会遇到极大挑战. 就拿 方程 与 函数 来说, 单纯从某一个 方面出发, 而不考虑二者的内在统一性, 就有 可能走到 山重水复 的境地.在现实的课堂 中, 虽然有些教师在讲授函数的时候, 会涉及 方程的知识, 但大多采用拿来主义的方式为我 所用, 学生难以从更高的层面把握二者的本质 联系, 无法整合思维惯性, 难以形成上位思考. 为此, 我们开发实施了专门的整合课程, 以帮 助学生整合不同知识, 促进思维方式的转变和 跃迁, 发现知识之间的内在统一, 体验 峰回路 转 , 享受 柳暗花明 .

一、顺势而为突遇障碍 智慧显现尽在 后续 教师:请同学们一起回答下面算式的结 果. (板书: 2-1=? ) 学生惊讶. 教师:那如果我将上式改成下面一个等 式, 你会想到什么呢? (板书: x-1=1 ) 学生 1: 这是一个一元一次方程. 学生 2: 这个方程的解为 x=2. 教师: 很好, 那如果我再将上式改成下面 一个方程, 你又会想到什么呢? (板书: x-y=1 ) 学生 1: 这是一个二元一次方程. 学生 2: 这个方程的解为 x=y+1. 学生 3:不对, x=y+1 不是该方程的解, x的 值应该是一个具体的值.所以这个方程没有解. 学生 4: 不对, 我看 x=2, y=1 就应该是这 个方程的解. 教师: 噢, 还有其他表达形式的解吗? 学生 1:有, x=3, y=2;

x=4, y=3;

x=5, y=4 等等都是该方程的解. 学生 2:这些解的形式是成组出现的, 并 且有无数组. 教师: 既然二元一次方程 x-y=1 有无数组 解, 那么我们究竟用怎样的方式来表示这无数 组解呢? 用怎样的呈现形式来更为直观地描述 这无数组解呢? 课堂现场: 学生讨论, 无果, 留下疑惑: 方 程的解都是具体的数值, 而能满足方程成立的 实践创新

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2 数值有无数组, 无数组解的表达是永远不可能 实现的. 教师: 请同学们思考一下, 在过去的学习 中, 哪些知识是用有限形式代表了无限形式的 表达呢? 学生 1: 循环小数的表达是用有限形式代 表无限形式的.比如: 0.33……, 因小数点后面 有无限多个

3 而无法全部写出, 故用 0.3 觯 表示 即可. 学生 2: 无理数的表达也是用有限形式代 表无限形式的.比如: x2 =3, 其中 x 的值就是一 个无限不循环小数, 如果把所有的小数点后面 的部分用数字表达是无法全部写出的,故用

3 姨或-

3 姨 来表示即可. 学生 3: 在几何作图的时候也存在用有限 形式替代无限形式的表达方式,比如直线 AB 的作图,我们即可用下图的作图方式表达, 端点A、 B 之外表示向两方无限延伸. (学生作图 如下 ) 学生 4: 哦, 看来不能用常规形式表达的 时候, 可以转化其表达形式.所以我想二元一 次方程 x-y=1 的无数组解也应该有办法表达, 只不过要选择一种新的表达形式, 那又该选择 怎样的表达形式呢? 【设计意图】 通过教师将三个等式逐一列 举的过程, 让学生感受从算式到方程的微妙变 化;