PDF《—以初中数学 —— “方程与函数内在统一性探讨”》

让学生意识到一元一次方程有唯一一组 解, 而二元一次方程则有无数组解.于是一个 问题将呈现在学生面前: 二元一次方程的无数 组解该如何表达?穷极学生思维, 把学生带到 行到水穷处 的境地, 让他们体验到 山重水 复疑无路 的窘迫, 引发学生欲罢不能、 跃跃欲 试的情感冲动.

二、历史融入智慧复演 原理探究策略达 成 教师: 这个问题, 在数学发展史上有很多 人研究过,法国数学家费马就是其中一位.

1630 年在其论文 《平面与立体轨迹引论》 中提 到: 两个未知量决定的方程式, 对应着一条轨 迹, 可以描绘出一条直线或曲线. 大家从这句 话中, 能否发现什么呢? 学生 1: 我认为这位数学家是从轨迹的角 度研究方程的,即从直线或曲线的角度研究 方程式.这样一来, 直线或曲线的形式将更为 直观地描述无数组解, 跳出方程的解的常规 思路. 学生 2: 可是如何从轨迹的角度研究方程 呢?就比如我们刚才探讨的二元一次方程 x- y=1, 它怎么能与轨迹联系到一起呢? 学生 3:我们原来学习一次函数的时候, 往往要研究函数的图象, 一次函数的图象是一 条直线,可是这里没有一次函数的解析式啊. 怎样才能把二元一次方程与一次函数建立联 系呢? 这种联系又要通过怎样的方式方法来实 现呢? 教师: 很好, 大家的思考非常有价值.我们 研究方程重在研究其解, 研究二元一次方程自 然要研究其无数组解.对于二元一次方程 x-y=1, x=1, y=0 姨,x=2, y=1 姨,是该方程的解, 像这样形式的解有 无数组. 我们如果将其转化成有序实数对 (1, 0) , (2, 1) 形式,那么也就构成了点的坐标 形式…… 学生 1: 老师, 您的意思是否是这样的: 把x=1, y=0 姨,x=2, y=1 姨,通过有序实数对的形式转化成点 坐标(1,

0 ) , (2, 1),并在直角坐标系中表示出 来.这样方程的两组解就转化成两个点, 这两 个点不正是方程的两组解所对应的轨迹吗. 学生 2: 如果能将更多组解转化成其对应 点的轨迹, 那么方程对应的轨迹不就表示出来 了吗.可是无数组解一个一个地转化不也是很 实践创新

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2 麻烦的吗? 教师: 这个问题问得非常好, 哪位同学能 够帮助他解决这个问题? 学生 3: 其实, 将二元一次方程 x-y=1 进 行恒等变形为 y=x-1 的形式, 就有点一次函数 的外形了. 联系到我们学过的一次函数图象, 就可以把 x 的值与对应的 y 的值看成是数对, 在平面直角坐标系中找到对应的点. 如此, 二 元一次方程无限组解的表达困难也就因新的 表达方式迎刃而解. 教师: 非常好, 大家探究的正是方程和函 数内在统一性的问题, 请大家整理一下自己的 发现. 【设计意图】 一次函数及其图象的引入有 多种方式, 本环节我们是通过二元一次方程引 入一次函数,通过对方程的解引入函数图象, 让学生更为深刻地知道函数图象的形成原因. 这种做法恰恰符合大数学家费马的解析几何 的基本原理.同时, 教材知识的安排一般按照 从数、 等式、 方程、 方程的解、 函数、 函数图象这 样一种顺序, 因此以上环节的探究活动更符合 学生的认知规律. 融入费马解析几何的基本原理, 目的就是 让学生在融入数学家思想的前提下对已有的 问题进行思考, 这正是数学家智慧复演的现实 体现.在这样一个过程中, 我们自然达成二者 的内在统一性: