PDF《基于热质理论的广义热弹性动力学模型*》

2012 中国物理学会 Chinese Physical Society http://wulixb.iphy.ac.cn 234601-1 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 61, No.

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234601 的表观导热系数, 只有考虑热流矢及温度对空间的 惯性效应才能获取符合实际的真实导热系数. 鉴于 此, 要想全面揭示具有微尺度传热特征的超常传热 问题, 除了考虑热流矢对时间的惯性效应外 (热以 有限速度传播), 还要计及其对空间的惯性效应. 本文基于过增元和曹炳阳等 [11,12] 基于热质概 念提出的能够描述热流矢和温度对时间和空间的 惯性效应的普适导热定律, 依据 Clausius 不等式以 及Helmholtz 自由能公式, 构建了描述超常传热行 为的广义热弹性动力学模型, 推导了各向同性材料 超常传热问题的热弹性控制方程组. 通过与已有热 弹性理论模型进行对比可知, 对于时间极短、尺度 宏观的超常传热问题, 在空间效应可忽略的条件下, 模型可分别退化为 L-S, G-L 和G-N 广义热弹性模 型;

而对于尺度微观、稳态导热下的传热问题, 模 型退化为包含空间惯性效应的稳态模型, 可以揭示 稳态导热下的非傅里叶导热现象.

2 模型的建立 2.1 普适导热定律 根据爱因斯坦的质能关系式, 过增元等引入热 质的概念 [13] ρh = ρcvT c2 . (1) 式中, ρh 为热质的密度, ρ 为物体的密度, T 为物体 的温度, cv 为常应变比热, c 为真空中的光速. 当固体介质中存在温度梯度时, 热就会从高温 流向低温, 热质就具有宏观速度, 称之为漂移速度, 大小可由热流密度确定: uh = qh/ρh, (2) 式中 uh 为漂移速度, qh = q/c2 为热质流密度, q 为 热流密度. 可见, 在引入热质概念后, 可基于牛顿力学原 理构建热质流动的控制方程. 根据牛顿第二定律可 得DM Dt = FR, (3) 式中, M 为热质的动量, FR 为热质运动过程中受 到的作用力主矢量. 对于体积为 V 面积为 S 的单元体而言, 动量M可表示为 M = ∫ V ρhuhdV . (4) 热质运动过程中将受到来自热质压力差引起的驱 动力和来自介质内部的阻力的共同作用 [14] , 相应 的FR 可表示为 FR = ∫ S ph ・ nids ? ∫ V ρfhdV , (5) 式中 ph 为热子气压力, fh 为单位质量的阻力, ni 为单位基矢量. 将(4) 式和 (5) 式代入 (3) 式中进行整理可得: ρh Duhi Dt = ph,i ? ρfi h, (6) 式中下标 , i 表示对坐标的导数, 上标 i 表示沿 坐标轴的分量. 将声子气的状态方程及阻力的关系式 [14] 分别 代入上式进行整理可得 τ ( B qi ? ui hρcv B T ) + τui h ( qi,i ? ui hρcvT,i ) = ? kijT,j ? qi, (7) 式中 kij 为各向异性材料的导热系数, τ = kij γρc2 vT 为特征时间, 表征介质对热质运动的阻力特性, γ 为 固体的格留林艾常数. 由上式可知, 方程左边的第一项为热质动量随 时间的变化率, 其表征的是热流矢和温度对时间的 惯性效应;

左边第二项为热质动量随空间的变化 率, 其表征热流矢和温度对空间的惯性效应. 由于 导热过程的本质为热量的传递过程, 可见上式即为 基于热质概念的用于描述具有微尺度传热特征的 普适导热定律. 2.2 广义热弹性动力学模型 根据 Clausius 不等式 [15] 可得 φ = ??ψ?T, (8) σij = ρ ?ψ ?γij , (9) 式中 φ 为熵密度, ψ 为自由能密度, 两者可视为应 变张量 γij 和温度 T 的状态函数, 即φ=φ(γij, T), ψ = ψ (γij, T), σij 为应力张量. 其中熵密度 φ 的 变化率可表示为: B φ = ?φ ?γij B γij + ?φ ?T B T, (10) 将(8) 式代入熵密度变化率的表达式 (10) 中进行整 理可得 ρ B φ = ? [ ?2 Ψ ?γij?T B γij + ?2 Ψ ?2T B T ] , (11) 234601-2 物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 61, No.