PDF《如何理解欧拉公式》

如何理解欧拉公式 从一种具身数学的角度看 什么是知识 ? 集智是一个社会性/学术性团体 ? 一平面上两点间最短距离是直线 ? 最小单位是各种概念,概念网络与世界的映射 教科书中的欧拉公式:直接给出,再证明 Benjamin Peirce 与Mr.

M ? M先生由于大脑受损,无法说出3与5之间的数是什么,但是知道A与C 之间字母,知道周二和周四之间是哪一天,说明关于数字序列的知识 丢失带式其它序列信息完好.M先生无法做简单的算术,算不出 2+3,2-1等于多少,但是他记得乘法表,知道三乘九是二十七,却无法 理解它,M先生失去了算术的直觉.同样,对于用符号做计算的我们, 大多是在符号之间的关系的意义上去理解计算. ? 19世纪的数学家Benjamin Peirce : '这完全是一个悖论,我们无法理解它,不知道它意味着什么,但 是我们能证明它,因此我们知道它一定是正确的' 数学认知与具身数学 ? 认知科学中的数学认知,只要集中在两个方面, 一是对单个数学认知现象(如对数字的操作)做 大实验,但是无法给出全局解释.而是基于认知 语言学等学科做定性的统一理论,但缺乏实验支 持?统一理论中的基础概念要还原到物理机制还有很 长的路要走,但是没有统一理论的指导,实验仍 旧是盲的(希格斯玻色子) 算术 数轴 平面几何 解析几何 三角几何 解析几何 ? 笛卡尔平面 概念混 合1两个数轴2有两 条垂直线的欧氏平 面?把几何与算术代数 联系在一起,可以 使代数方程可视化, 反之亦然.同时空 间中的曲线可以被 看做是动点,可被 看做是由沿着xy轴 的移动组成 ? 可以扩展到n维 数轴 有两条垂直线的欧氏平 面 数轴x 直线X 数轴y 直线Y 数轴x上的数m 平行于直线Y的直线M 数轴y上的数n 平行于直线X的直线N 一对有序数(m,n) M与N的交点 一对有序数(0,0) 直线X与Y的交点 方程y=f(x),即一组有序 对(x,y) 两条直线的交点构成的点 集 两个等值公式的解 平面汇总两个图形的交点 三角几何 ? 很多连接隐喻都是算术化的隐 喻,这样可以把算术的计算应 用的对象域 ? 平面几何中只有角,没有数, 可以做加减,但乘除就很难 ? 三角几何开始于单位圆概念混 合,包含4个域 1.欧式平面中带有圆心和半径的 圆2.带有X,Y轴的笛卡尔平面 3.欧氏平面中的一个角φ

4 .一个直角三角形 ? 4个步骤 三角几何隐喻 源域:单位圆 目标域:三角函数 Φ对应的弧长 分配给φ的数 a的长度 cosφ b的长度 sinφ 推论 φ是直角 φ是平角 φ=π 1.再通过三角几何中用角与半径定位点,与笛卡尔平面中用有序对(a,b)描述点 这两个概念的混合,可以得到极坐标. 2.隐喻以及隐喻性质的概念混合,使一个域的推理结构可以用到另一个域上.这就 使得可以用算术计算,代数方程以及解析几何的概念可以用来刻画角度的计算,也 可以使函数和方程可视化.最重要的是给数学中带来了循环现象,给π以新的意义 e 数 对数 1/10000 -4 1/1000 -3 1/100 -2 1/10 -1

1 0

10 1

100 2

1000 3

10000 4

100000 5 幂 幂的变化率 i 负数的概念化――旋转平面 ? 在有了'数是直线上的点' 隐喻后,我们所有实数放 到数轴上,正数和负数以0 点对称,乘以-1的操作就 是在数轴上的反转 ? 旋转平面就是笛卡尔平面 加上'乘以-1就是旋转 180°' ? (-1,0)・ (a,b)=(-a,-b) (c,0) ・ (a,b)=(ac,bc) ? 根据前述规则,旋转平面 提供了一种新的'加'的 概念(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) 可旋转的数轴 笛卡尔平面 旋转180° 乘以-1 0点 原点 数值轴 每一个过原点的直 线 若乘以-1是旋转180°,那么进一步扩展,旋转90°是否是乘以一个数? ? 只有通过多个领域的概念以及 之间的混合关系,才能理解 ? 在之前所有的隐喻和概念混合 之上,只需要再多一个blend, 三角几何复平面混合 三角极坐标 函数 复平面 (a,b) 即a+bi r 原点到(a,b) 的长 度 X轴与半径的夹 角 如何理解 感谢各位看完这枯燥又没有艺术感的PPT