PDF《第十章 数据的统计描述和分析》

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n 时它与 )

1 ,

0 ( N 就相差无几了. (iv) F 分布 若)(~12nXχ,)(~22nYχ,且相互独立,则21//nYnXF=服从 F 分布,记作 ) , ( ~

2 1 n n F F , ) , (

2 1 n n 称自由度. 1.4.3 Matlab 统计工具箱(Toolbox\Stats)中的概率分布 Matlab 统计工具箱中有

27 种概率分布,这里只对上面所述

4 种分布列出命令的字 符: norm 正态分布;

chi2

2 χ 分布;

t t 分布 f F 分布 工具箱对每一种分布都提供

5 类函数,其命令的字符是: pdf 概率密度;

cdf 分布函数;

inv 分布函数的反函数;

stat 均值与方差;

rnd 随机数生成 当需要一种分布的某一类函数时, 将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起 来,并输入自变量(可以是标量、数组或矩阵)和参数就行了,如: p=normpdf(x,mu,sigma) 均值 mu、标准差 sigma 的正态分布在 x 的密度函数 (mu=0,sigma=1 时可缺省). p=tcdf(x,n) t 分布(自由度 n)在x的分布函数. x=chi2inv(p,n)

2 χ 分布(自由度 n)使分布函数 F(x)=p 的x(即p分位数). [m,v]=fstat(n1,n2) F 分布(自由度 n1,n2)的均值 m 和方差 v. 几个分布的密度函数图形就可以用这些命令作出,如: x=-6:0.01:6;

y=normpdf(x);

z=normpdf(x,0,2);

plot(x,y,x,z),gtext('

N(0,1)'

),gtext('

N(0,2^2)'

) 分布函数的反函数的意义从下例看出: x=chi2inv(0.9,10) x = 15.9872 如果反过来计算,则P=chi2cdf(15.9872,10) P = 0.9000 1.5 正态总体统计量的分布 用样本来推断总体, 需要知道样本统计量的分布, 而样本又是一组与总体同分布的 随机变量,所以样本统计量的分布依赖于总体的分布.当总体服从一般的分布时,求某 个样本统计量的分布是很困难的, 只有在总体服从正态分布时, 一些重要的样本统计量 (均值、标准差)的分布才有便于使用的结果.另一方面,现实生活中需要进行统计推 断的总体,多数可以认为服从(或近似服从)正态分布,所以统计中人们在正态总体的 -207- 假定下研究统计量的分布,是必要的与合理的. 设总体 ) , ( ~

2 σ μ N X , n x x x , , ,

2 1 L 为一容量 n 的样本,其均值 x 和标准差 s 由式(1) 、 (2)确定,则用 x 和s构造的下面几个分布在统计中是非常有用的. ) , ( ~

2 n N x σ μ 或)1,0(~/Nnxσμ?(3) ).

1 ( ~ )

1 (

2 2

2 ? ? n s n χ σ (4) )

1 ( ~ / ? ? n t n s x μ (5) 设有两个总体 ) , ( ~

2 2

1 σ μ N X 和),(~222σμNY,及由容量分别为

1 n ,

2 n 的两个 样本确定的均值 y x, 和标准差

2 1,s s ,则)1,0(~//)()(22212121Nnnyxσσμμ+???(6) )

2 ( ~ /

1 /

1 ) ( ) (

2 1

2 1

2 1 ? + + ? ? ? n n t n n s y x w μ μ (7) 其中

2 )

1 ( )

1 (

2 1

2 2

2 2

1 1

2 ? + ? + ? = n n s n s n sw , )

1 ,

1 ( ~ / /

2 1

2 2

2 2

2 1

2 1 ? ? n n F s s σ σ (8) 对于(7)式,假定

2 1 σ σ = ,但它们未知,于是用 s 代替.在下面的统计推断中我们 要反复用到这些分布. §2 参数估计 利用样本对总体进行统计推断的一类问题是参数估计, 即假定已知总体的分布, 通 常是 ) , ( ~

2 σ μ N X ,估计有关的参数,如2,σ μ .参数估计分点估计和区间估计两种. 2.1 点估计 点估计是用样本统计量确定总体参数的一个数值.评价估计优劣的标准有无偏性、 最小方差性、有效性等,估计的方法有矩法、极大似然法等. 最常用的是对总体均值 μ 和方差

2 σ (或标准差σ )作点估计.让我们暂时抛开评 价标准,当从一个样本按照式(1) 、 (2)算出样本均值 x 和方差