PDF《Interrogation》

Universit? e Paris Diderot Ann? ee 2017-2018 MIAN Interrogation Exercice 1.

? Etudier le syst` eme S : ? ? ? x + 2z =

3 2x + y + 2z =

2 ax + y + z =

1 Pour quelles valeurs de a y a-t-il une solution ? Dans ce cas, ? ecrire toutes les solutions du syst` eme, en fonction de a. Solution : On re-? ecrit le syst` eme matriciellement et on applique la m? ethode d'? elimination de Gauss ? ?

1 0

2 3

2 1

2 2 a

1 1

1 ? ? ? ? ?

1 0

2 3

0 1 ?2 ?4

0 1

1 ? 2a

1 ? 3a ? ? ? ? ?

1 0

2 3

0 1 ?2 ?4

0 0

3 ? 2a

5 ? 3a ? ? On voit que si a = 3/2, la derni` ere ? equation donne 0z = 1/2, qui est fausse. Donc, pas de solution. Si a = 3/2, on trouve z =

5 ? 3a

3 ? 2a , y = ?4 + 2z = 2a ?

2 3 ? 2a , x =

3 ? 2z =

1 2a ?

3 . (1) Exercice 2. Soient v1 = (1, 2, 3) et v2 = (1, 1, 1). (i) ? Ecrire l'? equation param? etrique du plan P qui contient v1 et v2. (ii) Montrer que P est un sous-espace vectoriel de R3 . D? eterminer une base de P (justi?er) et en d? eduire sa dimension. (iii) ? Ecrire une ? equation cart? esienne du plan P. (iv) Trouver une ? equation param? etrique pour les points (x, y, z) qui sont dans l'inter- section du plan P avec le plan Q d'? equation x + y + z = 1. Solution : (i) P = ? ? ? v ∈ R3 : v = λ ? ?

1 2

3 ? ? + ? ? ?

1 1

1 ? ? avec λ, ? ∈ R ? ? ? (2)

1 (ii) On a P = Vect({v1, v2}). ? Evidement P ? R3 (sous-ensemble). Comme on a vu dans le cours, il est aussi un sous-espace vectoriel de R3 : soient v, w ∈ P, qu'on ? ecrira alors comme v = λ1v1 + ?1v2 et w = λ2v1 + ?2v2 pour certaines constantes λ1, λ2, ?1, ?2 ∈ R ;

pour tous les α, β ∈ R : αv +βw = α(λ1v1 +?1v2)+β(λ2v1 +?2v2) = (αλ1 +βλ2)v1 +(α?1 +β?2)v2 (3) et donc αv + βw ∈ P. L'espace engendr? e par deux vecteurs (parfois dites "directeurs") dans R3 est un plan. Dans ce cas, comme on a dit, P = Vect({v1, v2}). ? Evidement les vecteurs v1 et v2 ne sont pas colin? eaires ;

en fait, apr` es l'? elimination de Gauss : ? ?

1 1

2 1

3 1 ? ? ? ? ?

1 1

0 1

0 0 ? ? (4) on trouve deux pivots. Donc {v1, v2} est une base de P et alors P a dimension

2 (cardinalit? e de sa base). (iii) Le point (x, y, z) ∈ R3 appartient ` a P si et seulement si le syst` eme λ ? ?

1 2

3 ? ? + ? ? ?

1 1

1 ? ? = ? ? x y z ? ? (5) a une solution (les inconnues sont λ, ? ∈ R). On fait pivot de Gauss : ? ?

1 1 x

2 1 y

3 1 z ? ? ? ? ?

1 1 x

0 ?1 y ? 2x

0 ?2 z ? 3x ? ? ? ? ?

1 1 x

0 ?1 y ? 2x

0 0 x ? 2y + z ? ? Alors ce syst` eme a une solution si et seulement si x ? 2y + z = 0. Autrement dit, l'? equation cart? esienne de P est x ? 2y + z = 0. (iv) P ∩ Q = ? ? ? ? ? x y x ? ? ∈ R3 : x ? 2y + z =

0 et x + y + z =

1 ? ? ? (6) Le points d'intersections correspond alors aux solutions du syst` eme

1 ?2

1 0

1 1

1 1 ?

1 ?2

1 0

0 1

0 1/3 ?

1 0

1 2/3

0 1

0 1/3

2 Alors z est une variable libre ;

les solutions sont ? ? x y z ? ? = ? ? 2/3 1/3

0 ? ? + λ ? ? ?1

0 1 ? ? o` u λ ∈ R. (7) Exercice 3. Soient v1 = (5, 1, 2, 3), v2 = (?1, 2, 3, ?2), v3 = (3, 5, 8, ?1) et v4 = (11, 0, 1, 8). (i) Montrer que Vect({v1, v2}) = Vect({v3, v4}). (ii) D? ecrire l'espace F = Vect({v1, v2}) par un syst` eme d'? equations cart? esiennes. (iii) Montrer que F est contenu dans G = {(x, y, z, w) ∈ R4 | 11z+11w?9x?10y = 0}. Est-ce que F = G ? Solution : (i) Prenons les

4 vecteurs comme colonnes d'une matrice et faisons l'? elimination de Gauss : ? ? ? ?

5 ?1

3 11

1 2