PDF《克莱因瓶》

98 我第一次和克莱因瓶打交道以失败而告终.

当我还在学校时,我在一本周 刊上看到了一张克莱因瓶的图片.我和一位专门从事物理设备工作的玻璃制造 者朋友分享了我对此的迷恋.几天后,我就成了由玻璃制成的实体克莱因瓶的 一个骄傲的拥有者. 这样的瓶子能做什么?为什么不用它做点事?填充它并不容易,因为流入 的水堵住了内部的空气出来.所以我决定把剩下的空气保留在瓶子里,看看这 个半填充瓶作为一个温度计有多有效. 我添加了几种高锰酸钾晶体来使水变色, 使其更容易标记玻璃上的水位. 令我高兴的是,这种原始但有 趣的温度计确实显示了白天的生命 迹象.不幸的是,第二天早上就出 现了一场灾难,大量的红水泼在我 的窗台上. 这是冬天,夜间的低温将瓶子 里剩余的空气压缩得太厉害,以至 于克莱因瓶手柄内的水位低于下部 曲线,从而吸入了更多的空气.当 空气在早晨再次升温时,体内空气 的增加使水位在柄内过高上升.在 那些日子里,我无法找到使得水和 空气稳定的比例. 克莱因瓶是在

1882 年被克莱因 (Felix Klein)发现的

1 ,从此以后, 在"象牙塔"之外,它进入了为一 克莱因瓶Konrad Polthier /文丁玖/译1F. Klein, ?ber Riemann's Theorie der algebraischen Functionen und ihrer Integrale, Teubner Leipzig (1882), p. 80. Klein bottle Klein bottle Klein bottle

99 般公众所知的数学形体的画廊.这个瓶子是一个单侧的曲面,就像众所周知的 莫比乌斯带一样,但更加迷人,因为它是封闭的,没有边框,也没有封闭的内 部和外部.按照克莱因的方式,我们使用视觉模型来研 究这个曲面. 从莫比乌斯带到投影平面 莫比乌斯带是最简单的单侧曲面,并且很容易由一张 纸带做成.标记纸张的两面――例如,在前面画一些红 点,而在背面画一些绿点.现在将条带扭转后,把两端 粘在一起, 使红点附在绿点上.这就成了一个莫比乌斯带, 沿表面移动不越过边界就能走遍红色及绿色的圆点. 这个带子于

1858 年由德国天文学家和数学家莫比 乌斯(August Ferdinand M?bius)发现.加上

0 次扭转,

2 次扭转或更一般地,偶数次扭转将始终产生双侧曲面. 类似地,非偶数次的扭转将产生各种各样的单侧曲面.有趣的是,莫比乌斯带 的边界是一个单一的闭合曲线. 拓扑学是研究形状在连续弯曲和拉伸下不变化的那些性质的一门数学学 科.例如,如果一个莫比乌斯带由橡胶片做出,我们略微将它拉长而不会破坏 它,它仍然是一个单侧曲面.相比之下,如果我们在没有扭转的情况下粘合了 条带的两端,则所得的圆柱形形状将是在拓扑意义下不同的双侧圆柱面. 尽管很简单,但莫比乌斯带是一个真正的数学发现.关于曲面可定向性的 推理是理解和分类拓扑中的曲面和流形的关键之一. 拓扑的后续任务是摆脱莫比乌斯带的剩余边界以产生封闭的曲面.最简单 的解决办法是用橡皮莫比乌斯带并把所有边界点连续地拉到一起,就像我们可 以将一个圆的点拉成圆锥面.无论我们是否去掉圆锥面的尖点,我们获得一个 没有边界的封闭曲面,它是单侧的,因为无论从哪里开始我们总是可以去走到 莫比乌斯带,然后像以前一样切换边.这个曲面称为投影平面,在拓扑上它是 最简单的一个封闭的单侧曲面.不幸的是, 射影平面的几何实现是相当复杂的.