PDF《克莱因瓶》

100 例如,直到

1903 年,鲍埃(Werner Boy)2 才根据希尔伯特(David Hilbert, 鲍埃的博士生导师)的建议,发现了没有尖角或边缘的射影平面的一个几何实 现.幸运的是,莫比乌斯带的不同闭合可更简单地得到. 克莱因瓶不是一个甜甜圈 像甜甜圈形状的圆环面的构造从一张纸开始,将它卷起来形成圆柱面,然 后将两端弯过来形成周围闭合的形状.圆柱面在一侧的内部与另一侧的内部连 接,外部也一样.因此,环面是双侧曲面. 但是,我们也可以使用圆柱面来制作一个克莱因瓶.不像我们从纸条上制 作莫比斯带时所做的那样加一个扭转,我们将圆柱面的一端在圆柱面内绕回, 将其粘合到另一端,并将两个边界线以相反的方向粘合在一起.为了以令人愉 快的形状来实现,我们调整圆柱面的宽度.这使我们能够将内部粘合到外部, 获得一个单侧曲面.在下图中,我们使用白色和绿色来区分原来的圆柱面的两 侧.当克莱因瓶完成后,颜色仍然显示圆柱面粘合在何处,但在任何其它平行 圆周粘合也行. 在他的原始著作

1 中,克莱因将他的瓶子作为将"橡胶管翻转,使其通过 自身内外相遇"的"某种无界的双曲面"的可视化. 不幸的是,克莱因瓶不界定体积――换句话说,它没有内部.这意味着你 可以在"克莱因瓶"甜甜圈上放上两倍于环面甜甜圈的糖,但是它里面却没有 面团!

2 W. Boy, ?ber die Curvatura integra und die Topologie geschlossener Fl?chen, Math. Ann.

57 (1903), pp. 151-184.