PDF《一、判断题》

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2 3

4 5

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3 11

21 31

12 22

32 1

2 3

13 23

33 14

24 34

15 25

35 11

21 31 1.

1 ,2,3;

1 ,2,3 , , . , ,

0 i i i i i i j j j j a a a a a i a a a j a a a a a a x a a a a a a a a a a a a α = = β = = α α α β β β ? ? ? ? ? ? ? ? α α α = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

一、判断题 设 正确!如果 线形相关,则,,

线形相关 如果 线形相关,齐次线性方程 有非零解 所以秩

11 12

13 12

22 32

21 22

23 13

23 33

31 32

33 14

24 34

15 25

35 11

12 13

21 22

23 1

2 3

31 32

33 3,

3 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? < ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = β β β ? ? ? ? ? ? 所以秩 〈 ,那么齐次线性方程 也有非零解,所以 , , 线形相关

1 2

3 2. , .

2 1

0 2

0 0

4 2

1 1

1 0

0 2

1 2

2 1

0 0

1 0

1 2

0 1

2 3. .

1 0

1 1

0 1

0 1 4. A B n AB A B AB AB n A B A B A B A B A,B V V V 是线性空间V的子空间 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = ? ? ? ? ? ? ? ? 设 都是 阶正定的矩阵,则 也是正定的 错误!设,,

,显然 非对称 如果 阶方阵 , 有完全相同的特征值,则,相似 错误! , , , 有完全相同的特征值,但 不相似 , ,

1 2

3 1

1 2

1 1

2 2

1 1

2 2 5. .

0 0 ,而且任意两个的交为0 V V V V P A, B C V A AB AC B C V P A, B C V A A B B C C AB AC B C + = = ε = ε ε = ε = ε ε = ε ε = ε + ε ε = = = ,则+是直和.正确! 设 是数域 上的有限维线性空间, ,都是 上的线性变换,并 不是零变换 如果 ,则 错误!设 是数域 上的二维线性空间, 定义 ,都是 上的线性变换 得出 ,但!,6543241

42 43

44 1. ( )

10 6 _

310 580

20 1115 (12)

2005 2

0 0

3 1

1 2

0 2. ,

2 3

4 0

2 4

6 8

1 3

5 7 3. (1 ,2,

1 ), (

1 ,2,1 ), (1 , 2,

1 ), (2,3,

1 ) (1 ,2,0), f x x x x x x x f D A A A A A diag B diag C diag D diag G diag B D C G 与A相似的矩阵是:B 与A合 = =

二、填空 则则在实数域上, , , , 中,

3 2

2 0

0 .

2 1

0 4

3 det( ) ?(210)

3 4

2 5. | |

1 1

2 2

1 2

2 1 )

3 3

3 3

1 0

0 1

2 2

0 0

3 3

1 2

2 0

0 3

3 同,但不相似的矩阵是:D 与A等价,但不合同,也不相似的矩阵是:C

4 A B A A E B A A A i i f i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = λ = λ + + λ + ? λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ,

1 是三级正交矩阵,迹为 , ,则 的特征多项式为?若当标准型为?

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2 3

2 3 ( , , )

2 5

5 4

4 8

2 2

2 2

5 4

2 4

5 det( ) (

1 ) ( 10) ( )

10 (1 ,2, 2)' ( )

1 ( 2,1 ,0)', (2,0,1 )' f x x x x x x x x x x x x E A i ii ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? λ ? = λ ? λ ? λ = α = ? λ = α = ? α =

1 2

三、用正交线性变换将二次型 化为标准型,并写出正交线性变换 该二次型对应的矩阵A= 当 ,对应的特征向量 当 ,对应的特征向量 然后用施

2 3 (1 ,2, 2)';

( 2,1 ,0)';

(2,4,5)' β = ? β = ? β =

1 密特法正交化

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3 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 ( , , ),

0 0

0 0

0 0 n n n C X CY

四、设A,B都是数域上的n阶方阵,A有n个不同的特征值,AB = BA 证明B相似于对角阵 A n A T T AT AB = BA T ATT BT T BTT AT T BT T BT ? ? ? ? ? ? ? = β β β = ? ? λ ? ? = λ λ ? ? ? ? λ ? ? ? ? = ? ? λ λ ? ? = ? ? ? ? λ ? ? ? ? O L O O 令 变换 由于 有 个不同的特征值,所以 可以对角化 也就是存在可逆矩阵 ,使得 , , , 互不相同 由于 ,所以 即11