PDF《2017年春季学期实分析（西区）期中考试》

2017年春季学期实分析(西区)期中考试 整理人:章俊彦 zhangjy9610@gmail.

com 主讲教师:郭经纬 1. 设E ? Rd , 则E可测当且仅当对任意 > 0, 存在开集G1包含E, G2包含Ec , 使得m(G1 ∩ G2) < . 2. (1) 设f ∈ C(R), g是R上的可测函数. 若对任意零测集Z, f?1 (Z)是可测集, 求证: g(f(x))可测. (2)若f : R → R是单调递增函数(不一定严格) ,求证:f是Borel可测的. 3. 证明Lusin定理. 4. (1)若W是不可测集, E是可测集, 求证:E?W不可测. (2)设W ? [0, 1]不可测, 求证:存在 ∈ (0, 1), 使得对任意满足m(E) ≥ 0的可测集E, 都有E ∩ W不可测. 5. 设{Ej}是Rd 中的一列互相不交的可测集, 求证:对任意A ? Rd , 成立 m?(A ∩ ( ∞ j=1 Ej)) = ∞ j=1 m?(A ∩ Ej). 1