PDF《2017 年全国高考课标卷 II、III 理12 题解析》

8 福建中学数学

2017 年第

10 期 最后,注重数学核心素养教学.

在数学教学过 程中,应培养学生解决数学问题的素养和能力.教 师在讲授典型最值函数时,既要讲结果又要讲来龙 去脉,注重数学知识的发生、发展过程,将数学思 想方法有机融合于发展学生的数学核心素养之中, 让学生体会和感悟其中蕴含的数学思想方法,以提 高其数学核心素养. 参考文献 [1]钱丽谈,曹关明.透过一道高考题探索一类 max{ } x y , ― max{ } x y , 型 函数最值的求解[J].理科考试研究(数学版) ,2016(3) :10-11 [2]普通高中课程标准实验教科书数学 ? 选修 4-5[M].人民教育出版社,

2007 [3]华东师范大学数学系・数学分析(第三版)上册[M].北京:高等教育 出版社,2001

2017 年全国高考课标卷 II、III 理12 题解析 江智如 福建省南平市高级中学(353000) 随着

2017 年高考帷幕的落下,全国高考课标卷 也掀开了它神秘的面纱.纵观全国课标卷 I、II、III 三份试卷,试卷的命制遵循了考试大纲的各项规定, 结构稳定,难易适度,有很好的区分度.同时贯彻 立德树人的理念,突出理性思维,考查实际应用, 关注数学核心素养.其中全国课标卷 II、III 理科试 题的第

12 题均为向量题,从不同的角度考查了向量 知识,让人眼前一亮.为此笔者对这两题进行解析. 例1(2017 年高考全国卷 III・理12)在矩形 ABCD 中,

1 AB = ,

2 AD = ,动点 P 在以点C 为圆 心且与 BD 相切的圆上,若AP AB AD λ ? = + ??? ? ??? ? ???? ,则λ?+的最大值为 ( ) A.3 B.2

2 C.

5 D.2 思路

1 此题与

2015 年福建卷理科第

9 题极为类 似,并且注意到问题的对象是在矩形 ABCD 中,又 牵涉到圆的相切问题,所以考虑用坐标法来求解. 解法

1 如图 1,以AD 为x轴, AB 为y轴,建 立直角坐标系,则(0 0) (0 1) (2 1) (2 0) A B C D 因为 AP AB AD λ ? = + ??? ? ??? ? ???? , 所以 (2 ) P ? λ , ;

又直线 :

1 2 x BD y + = , 且圆C 与BD 相切, 所以半径

2 5 r = ;

C ∴ 的参数方程为

2 2 cos

5 2

1 sin

5 x y θ θ ? ? ? ? ? ? ? = + = + , , (θ 为参数) . 所以

2 2

2 cos

5 2

1 sin

5 ? θ λ θ ? ? ? ? ? ? ? = + = + , , 即11cos

5 2

1 sin

5 ? θ λ θ ? ? ? ? ? ? ? = + = + , , 从而

1 2

2 cos sin

5 5 λ ? θ θ + = + +

2 sin( ) θ ? = + + , 因此 λ ? + 的最大值为3,故选 A. 思路

2 考虑到坐标法有些麻烦,也可以从向量 的平行四边形法则和三角形法则入手,利用 Cauchy 不等式来求解. 解法

2 因为 ( ) AP AC CP AB AD CP ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? , 所以 ( 1) ( 1) AB AD CP λ ? ? + ? = ??? ? ???? ??? ? ;

因为圆C 与BD 相切, 由面积法得

2 5 r = , | |

2 5 CP ∴ = ??? ? ;

又AB AD ⊥ ??? ? ???? ,所以

0 AB AD ? = ??? ? ???? , 从而可得

2 2

4 ( 1) ( 1)

4 5 λ ? ? ? + ? = ;

由Cauchy 不等式, 得222

1 1

1 4 (1 )

2 4 λ ? λ ? ? 即2()12λ?≥+?,所以1

3 λ ? ≤ + ≤ , 当且仅当

1 ( 1)

2 1

1 2 λ ? ? ? ? = 时, 即9655λ?==,,

λ?+的最大值为3, 故选 A. 万方数据

2017 年第

10 期 福建中学数学

9 例2(2017 年高考全国卷 II・理12) 已知 ABC ? 是边长为

2 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点, 则()PA PB PC ? + ??? ? ??? ? ??? ? 的最小值是( ) A.

2 ? B.

3 2 ? C.

4 3 ? D.

1 ? 思路 因为向量的加法可以利用平行边形法则 转化为中点问题,利用向量的数量积与 AM-GM 不 等式求解. 解法 如图 2,取BC 的中点 D ,连接 PD , 则2PD PB PC = + ??? ? ??? ? ??? ? , 从而 ( ) PA PB PC ? + ??? ? ??? ? ??? ? 转化为 2PA PD ? ??? ? ??? ? ;