PDF《2017 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及...》

2017 年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案及评分标准 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.

第一试,选择题和填空题只设

7 分和

0 分两档;

第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在 评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数. 第一试

一、选择题: (本题满分

42 分,每小题

7 分) 1.已知实数 满足 , ,则=()A. 2. B. 1. C. 0. D. . 【答】B. 已知等式可变形为 , ,解得 , ,所以 1. 2.已知实数 满足 , ,则=()A.125. B.120. C.100. D.81. 【答】C. 令,,

,则 ,且由得,所以 . 所以 . 3.若正整数 满足 且 ,则称 为好数组.那么,好数组的个数 为()A. 4. B.3. C.2. D.1. 【答】B. 若 为好数组,则 ,所以 .显然, 只能为

1 或2. 若=2,由 可得 或3, 时可得 , 时可得 (不是整数) ;

若=1,则 ,于是可得 ,可求得 =(1,3,8)或(1,4, 5). 综合可知:共有

3 个好数组,分别为(2,2,4) , (1,3,8)和(1,4,5).

2017 年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案及评分标准 第1页(共5页) 4.已知正整数 满足 , ,则=()A. 424. B. 430. C. 441. D. 460. 【答】C. 由已知等式消去 整理得 , 所以 , 又 为正整数, 解得 . 若=1,则 ,无正整数解;

若=2,则 ,无正整数解;

若=3,则 ,无正整数解;

若=4,则 ,无正整数解;

若=5,则 ,无正整数解;

若=6,则 ,解得 ,此时 . 因此, , =6, ,故=441. 5.梯形 中,则梯形的面积为 ( ) A. . B. . C. . D. . 【答】A. 作,,

则 是平行四边形,所以 , ,从而 ,所以 是等腰三角 形,底边 边上的高为 . 所以 的面积 ,故可得 . 所以梯形的面积为 . 6.如图,梯形 中, , ,点在上,若,,

,,

则 = ( ) A. 56. B. 58. C.60. D. 62. 【答】B. 作,交的延长线于点 , 将 绕点 逆时针方向旋转 至 ,则 为正方形,且,,

,所以, ≌ ,所以 . 设 ,则 , . 在中,有 ,解得 .

2017 年全国初中数学联合竞赛试题(初二年级)参考答案及评分标准 第2页(共5页)

二、填空题: (本题满分

28 分,每小题

7 分) 1.使得等式 成立的实数 的值为_______. 【答】 . 由所给等式可得 .令,则,且,于是有 , 整理后因式分解得 ,解得 , , (舍去) ,所以 或.验证可知: 是原方程的增根, 是原方程的根. 所以, . 2.已知 的三个内角满足 ,用 表示 中的最小者,则 的最大值为_______. 【答】 . 因为 表示 中的最小者,所以 , , ,所以 ,所以 . 又当 ,即时,满足题设条件,故 可取到 . 因此, 的最大值为 . 3.设 是两个互质的正整数,且 为质数,则.【答】7. 因为 互质,所以 与和都互质,而 为质数,所以 或由可得 , ,不合题意;

由 可得 , , ,符合题意;

所以 . 4.20 个都不等于

7 的正整数排列成一行,若其中任意连续若干个数之和都不等于 7,则这

20 个数之 和的最小值为 . 【答】34.

2017 年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案及评分标准 第3页(共5页) 首先证明:对于任意

7 个正整数 ,其中一定存在若干个数(至少一个,也可以是全部)之 和为

7 的倍数. 我们来考虑如下

7 个正整数 ① 如果①中7个正整数有一个是

7 的倍数,则结论成立. 如果①中7个正整数没有一个是

7 的倍数, 则它们除以

7 所得的余数只能为 1, 2, …,

6 这6种情况. 所以,其中一定有两个正整数除以

7 所得的余数相同,不妨设为 和(),于是 是7的倍数.所以,结论成立. 对于