PDF《2017 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及...》

20 个都不等于

7 的正整数 中的任意

7 个数,由上述结论可知,其中一定有若干个 数的和是

7 的倍数,又由题设知,它不等于 7,所以,它大于或等于 14. 又因为 20=2*7+6,所以 ② 另外,当,中其余的数都为

1 时, =34,即②式等号成立. 所以, 的最小值为 34. 第二试

一、 (本题满分

20 分)设,是两个不同的两位数,且 是由 交换个位数字和十位数字所得,如果是完全平方数,求 的值. 解设,为正整数且 , , ,则,5分因为 是完全平方数,所以 ,且.又,,

所以

10 分 于是 ,故 也是完全平方数,所以 =1 或4. ……………………15 分 如果 =1,结合 可求得 , . 如果 =4,结合 可知没有正整数解. 因此, , , =65.20 分

二、 (本题满分

25 分)如图, 中, 为 的中点, 平分 , 平分 , , , 为与的交点.证明: .

2017 年全国初中数学联合竞赛试题(初二年级)参考答案及评分标准 第4页(共5页) 证明 设 ,则 , ,

5 分 由于 是直角三角形,所以 ,所以

10 分 又因为 为 的中点,所以 ,所以 ≌ , 所以

15 分 又由 可知 ,因此,四边形 是平行四边形,故 ,于是可得

20 分 又因为 , ,所以 , ,所以 ,所以

25 分

三、 (本题满分

25 分)已知 是不全相等的正整数,且 为有理数,求 的最 小值. 解 因为 是正整数, 是无理数,故.而为有理数,所以,故,又 不全相等,不妨设

10 分又,所以=,为整数.15 分当时, 为完全平方数, 则,;

……………………20 分当时, . 所以 ,且当 , , 时, . 因此, 的最小值为 3.25 分2017 年全国初中数学联合竞赛试题(初二年级)参考答案及评分标准 第5页(共5页)