PDF《量子力学期末试题 B》

量子力学期末试题 B 姓名 学号 题号习题总分成绩Ⅰ.

(35 分)回答下列问题: A. 写出电子在外电磁场 (?,A) 中的哈密顿量;

B. 反常塞曼效应的特点,引起的原因;

C. 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式;

D. 若yxiσ σ σ ± = ± ,求2±σ;

E. 体系处于 ) t , x ( ψ 态, a. 几率密度 ? ) t , x ( = ρ ;

b. 几率流密度 ? ) t , x ( j = ;

c. 证明: x j t ? ? ? = ? ?ρ . F. 处于位势

2 2 x m

2 1 ω 中的两个无相互作用的粒子,试分别给出 它们的基态、第一激发态和第二激发态的能量和简并度, a) 非全同粒子;

b) 自旋为

2 1 的全同粒子;

c) 自旋为0的全同粒子 . Ⅱ. (14 分)用试探波函数 a / x ) x ( e ? = ψ , 估计一维谐振子基态能量和波函数. Ⅲ.(16 分)设粒子在一维空间中运动,其哈密顿量为 ? H ,它在 ? H

0 表 象中的表示为 ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? Δ Δ =

0 0 E E E E H ? , A. 求?H的本征值和本征态;

B. 若t = 0时,粒子处于φ1,它在

0 H ? 表象中的表示为 ? ? ? ? ? ? ? ?

0 1 .试求出 t >

0 时的粒子波函数;

C. 绘出粒子在φ1 态的几率随 t 的变化(以η/ E Δ 为单位). Ⅳ.(15 分)

0 = t 时,氢原子处于基态 π

4 / ) r ( R10

100 = Ψ ,后置于 电场)0,0,eE(E/t0τ?=中.求∞→t时,发现氢原子处于 激发态 ) , ( Y ) r ( R

11 21

211 ? θ = Ψ 的跃迁几率(一级近似下)(径 向矩阵元不必具体计算出来;

不计及电子的自旋). ( 提示: ) Y Y (

3 2 r ( r

11 1

1 ? = ? π , ) (

3 2

11 1

1 Y Y ir + π ? , )

3 4

10 Y r π ) Ⅴ. (10 分)两个电子处于自旋单态,

1 σ 和2σ分别表示两个电子的 Pauli 算符.设a 和b 为空间任意给定的两个方向的单位矢量, 求关联系数 ) b , a ( C ,即)b)( a (

2 1 σ σ ? ? 的平均值.