PDF《第八章 反步设计方法》

第八章 反步设计方法 华南理工大学 华南理工大学 自动化学院 反步设计方法的基本思想 反步设计方法的基本思想 ? 将复杂的非线性系统分 ? 将复杂的非线性系统分 解成不超过系统阶数的 子系统 然后为每个子 ? ? + = x f x x ) (

1 1

2 1 &

子系统, 然后为每个子 系统设计部分Lyapunov 函数(简称V函数) 和中 ? ? ? ? + = x x f x x ) , (

2 1

2 3

2 M &

函数(简称V函数) 和中 间虚拟控制量, 一直 后退 到整个系统 ? ? ? ? + = + x x f x x i i i i ) ,.

.., (

1 1 &

M 后退 到整个系统, 将它们集成起来完成整 ? ? ? ? ? f ) ( &

M 个控制律的设计. ? ? + = u x x f x n n n ) ,..., (

1 基于反步法的控制器设计 基于反步法的控制器设计 虚拟控制 ? 虚拟控制 ? ? + = x f x x ) (

1 1

2 1 &

? =

1 1 x z ? ? ? ? + = x x f x x ) , (

2 1

2 3

2 M &

? ? ? ? ? = ) (

1 1

2 2

1 1 x x z x z α ? ? ? ? + = + x x f x x i i i i ) ,..., (

1 1 &

M ? ? ? ? ? = ) ( x x x z α L ? ? ? ? ? f ) ( &

M ? ? = ? ? ) ,..., (

1 1

1 n n n n x x x z α ? ? + = u x x f x n n n ) ,..., (

1 反步法的优点 反步法的优点 ? 1) 通过反向设计使控制V 函数和控制器 的设计过程系统化、结构化;

的设计过程系统化、结构化;

? 2) 可以控制相对阶为n 的非线性系统. 8.2.1 基于反步法的控制器设计 考虑下列单输入单输出非线性系统 ? ? + = x f x x ) (

1 1

2 1 &

? ? ? ? + = x x f x x ) , (

2 1

2 3

2 M &

? ? ? ? + = + x x f x x i i i i ) ,..., (

1 1 &

M ? ? ? ? + = u x x f x ) ,..., (

1 &

M (8.26) ? ? + u x x f x n n n ) ,..., (

1 其中 及 分别是系统的状态和输入变量;

系 统的非线性部分 呈下三角结构 反步法的 n R x∈ R u ∈ ) ( f 统的非线性部分 呈下三角结构.反步法的 设计思想是视每一子系统 中的 为虚拟控制 通过确定适当的虚拟反馈 ) ,..., (

1 i i x x f ) ,..., (

1 1 i i i i x x f x x + = + &

1 + i x 为虚拟控制,通过确定适当的虚拟反馈 = ,使得系统的前面状态达到渐 近稳定 但系统的解 般不满足 因此

1 + i x i α )

1 .., . ,

1 ( ? = n i α 近稳定.但系统的解一般不满足 = ,因此, 我们引进误差变量,期望通过控制的作用,使得 与虚拟反馈 间具有某种渐近特性 从而实现整个

1 + i x i α

1 + i x 与虚拟反馈 间具有某种渐近特性,从而实现整个 系统的渐近镇定. i α 首先, 我们利用虚拟控制, 定义n个误差变量 ? ? ? ? ? ? = = ) (

1 1

2 2

1 1 x x z x z α ? ? ? ? ? = ? ? ) ,..., (

1 1

1 n n n n x x x z α L (8.27) 其中 待定.我们在每一步构造一 ? ) , , (

1 1

1 n n n n i α )

1 .., . ,

1 ( ? = n i 其中 待定 我们在每 步构 个李雅普若夫函数,使每一状态分量具有适当的 渐近特性.注意(8.27)本质上为一微分同胚,因i)1.., . ,

1 ( n i 特()本质 微分 胚 此为镇定原系统, 我们只需要镇定原系统状态 与虚拟反馈 间的误差 即可.

1 + i x i α z 拟馈1+i第一步: 对 求导得

1 z (8.28) ) ( + ) ( +

1 1

2 1

1 1

1 2

1 x f x x z x f x z + + ? = = &

定义 , 取,21121zV=)(~)(111111zxfxααΔ=??=??+?=211zzz&

????+=???+=21231121232),(~~),(zzfxzzxxfxz&

&

Δα???+?=?212111zzzVz&

(8.29) 显然 如果 (即)则由

0 = z ) (x f x = α 显然,如果 (即),则由 (8.29)知 渐近稳定.但一般情况下 ,因 此我们再引入虚拟控制 使得其误差

0 2 = z ) (

1 1

1 1 x f x ? ? = α

1 z

0 2 ≠ z

2 α ) ( ~ 此我们再引入虚拟控制 使得其误差 具有期望的渐近性态.为此,我们进行下一步设 计2α)(1122zxzα?=计第二步: 定义 , 取,则122221VzV+=),(~~212212zzfzz+??=Δα则?+&

????+??=+?=3212211zzzzzzz&

?????+=∑???+=32134212321343),,

(~~),,

(zzzfxzzxxxfxzi&

&

Δα????+??=?=32222121zzzzVzii&

(8.30) 显然,如果 (即),则03=z),(~~212212zzfzz+??=α由(8.30)知,渐近稳定.但一般情况下, 因此我们再引入虚拟控制 使得其

1 z

2 z

0 3 ≠ z

3 α 误差 具有期望的渐近性态.如此下 去,可找到一般情形下的李雅普若夫函数及虚

3 3

3 3 ~ α ? = x z 拟控制. 第i步: 定义如下李雅普若夫函数 及虚拟控制 i V ;

) ,..., ( ~ ) ,..., (

1 1 i i i i i z z x x α α α Δ = = ) (

2 1

2 2

1 i i z z V + + = L

2 1 i i ~ Δ ) ,..., ( ~ ~

1 1 i i i i i z z f z z + ? ? = ? α (8.31) 则有 ? ~ ? ? ? ? + ? ? = + + = + ? +

1 1

1 1

1 ) ,..., ( ) ,..., ( ~ i i i i i i i i i z z z z z f z z z z &

α ? ? ? ? ? + + + + + ? = + +

1 1

1 2

2 1

1 1 )] ,..., ( ~ ) ,..., ( ~ [ ) ( i i i i i i i i i i i z z f z z z z z z V L &

α ? ? ? + + + ? = +1

2 2

1 ) ( i i i z z z z L 注意在第 步 由上式知

1 n 注意在第 步,由上式知

1 ? n ? ? ? + ? ? = ? ? ? ? n n n n n z z z z z

1 1

2 1 ~ &

? ? ? ? ? + ? ? = ? ? ? ? ? n n n n n V z z f z z

2 2

1 1

1 1

2 1 ) ( ) ,..., ( ~ &

α ? ? + + + ? = ? ? ? n n n n z z z z V

1 2

1 2

1 1 ) ( L 因此在最后一步可得 ? ? + = ∑ ? ? ? + + = ? ? ) ,..., ( ~ ~ ) ,..., (

1 1

1 1 u z z f z u x x f x z n n i n n n n n n &

&

Δ α ? ? ? ? + + + + + ? = ∑ ? ? ? = ] ) ,..., ( ~ [ ) ( ) ( ) (

1 1

2 1

2 1

1 1

1 u z z f z z z z z V f z f n n n n n n n n n i i i n n n n L &

(8 32) ? ] ) , , ( [ ) (

1 1

1 1 f n n n n n n n (8.32) 选取反馈控制规律为 (8 33) ) ,..., ( ~ ) ,..., ( ~

1 1

1 n n n n n n z z f z z z z u ? ? ? = = ? α (8.33) 则由上述关系式(8.32)及(8.33)得????=1zzz&

?????+++?=??)(221211nnnnnnzzzVzzzL&

(8.34) 因此误差是指数渐近稳定的 从而在上述反步法 因此误差是指数渐近稳定的.从而在上述反步法 中给定的虚拟控制(8.31)及反馈控制(8.34)下, 原非线性系统确实是指数渐近稳定的 原非线性系统确实是指数渐近稳定的. 由上设计方法可知,反步法实际上是一种由前往 后递推的设计方法 然而比较适合在线控制 达 后递推的设计方法,然而比较适合在线控制,达 到减少在线计算时间的目的.此外,反步法中引 进的虚拟控制本质上是 种静态补偿思想 前面 进的虚拟控制本质上是一种静态补偿思想,前面 子系统必须通过后边子系统的虚拟控制才能达到 镇定目的 因此该方法要求系统结构必须与(8 26) 镇定目的,因此该方法要求系统结构必须与(8.26) 类似的所谓严参数反馈系统或可经过变换化为该 种类型的非线性系统 反步法在设计不确定系统 种类型的非线性系统.反步法在设计不确定系统 (特别是当干扰或不确定性不满足匹配条件时)的 鲁棒或自适应控制器方面已经显示出它的优越性 鲁棒或自适应控制器方面已经显示出它的优越性. 8.2.2 一类不确定非线性系统的自适应控制 8.2.2 类不确定非线性系统的自适应控制 考虑下列所谓的严参数反馈非线性不确定系统 考虑下列所谓的严参数反馈非线性不确定系统 ? ? ? ≤ ≤ + = n i x x x x

1 1 ) (

1 T

1 θ ? &

? ? ? ? ? + = ≤ ≤ + = + u x x x x n i x x x x n n i i i i ) ( ) ( + ) (

1 1 , ) ,...., (

0 T

0 1

1 β θ ? ? θ ? &

(8.35) ? ? + u x x x x n n ) ( ) ( ) (

0 0 β θ ? ? (8.35) 其中 及 分别是状态和输入变量;

是 未知参数向量;

及 是光 n R x∈ R u ∈ p R ∈ θ 0, ) (

0 ≠ x β ) (

0 x ? )

1 ( n i R p i ≤ ≤ ∈ ? 未知参数向量;

及 是光 滑的纯量和向量函数.下面我们用反步法来设计 自适应控制器使得系统具有良好的动态特性. 0, ) (

0 ≠ x β

0 ) ( i ? 自适应控制器使得系统具有良好的动态特性 设 是可调节的未知参数估计向量,则(8.35)可 改写为下列形式 θ ? 改写为下列形式 ? ? ? ≤ ≤ ? + + = + n i x x i i i i .

1 1 ), ? ( ? T T

1 θ θ ? θ ? &

? ? ? ? + ? + = ≤ ≤ + + + u x x x n i x x n n n i i i i ) ( ) ? ( ? + ) ( .

1 1 ), (

0 T T

0 1 β θ θ ? θ ? ? θ θ ? θ ? &

(8.36) 同上述镇定问题一样,我们引入下列误差坐标 ? ? = ?

1 1 x z ? ? ? ? ? = ) , (

1 1

2 2 θ α x x z L (8 37) ? ? ? ? = ? ? ) ? , ,..., (

1 1

1 θ α n n n n x x x z (8.37) 其中 是虚拟控制函数 ) ? , ,..., (

1 θ α i i x x 其中 是虚拟控制函数. ) , ,..., (

1 θ α i i x x 首先将 调节到平衡点 及镇定相应的平衡 点1x01=exe点ex??????≤≤???=?=11)~~(0 ~ ~ =

0 T T ........