PDF《Exo7》

2 , u+v

2 , la fonction f s'écrit F(u,v) = f(u?v

2 , u+v

2 ). Montrer que pour que f soit solution de (3) il faut et il suf?t que ?2F ?u?v = 0. (5)

3 2. Montrer que, si F satisfait à (5), il existe deux fonctions g1,g2 : R → R telles que F(u,v) = g1(u)+g2(v). 3. ?crire la solution générale de (3) et expliquer la phrase : "En une dimension d'espace, toute solution de l'équation des ondes s'écrit comme somme d'une onde qui se déplace vers la droite et une qui se déplace vers la gauche."

4 Correction de l'exercice

1 d(ln(xy)) = d(xy) xy = xdy+ydx xy = dy y + dx x ;

d(xyz(1+sinh(yz))) = (1+sinh(yz))d(xyz)+xyzd(sinh(yz)) = yz(1+sinh(yz))dx+xz(1+sinh(yz))dy+xy(1+sinh(yz))dz +xyzcosh(yz)d(yz) = yz(1+sinh(yz))dx+xz(1+sinh(yz))dy+xy(1+sinh(yz))dz +xyz2 cosh(yz)dy+xy2 zcosh(yz)dz = yz(1+sinh(yz))dx +xz(1+sinh(yz)+yzcosh(yz))dy +xy(1+sinh(yz)+yzcosh(yz))dz;

d sin(x2 y)ex?y = cos(x2 y)ex?y d(x2 y)+sin(x2 y)ex?y d(x?y) = x2 cos(x2 y)ex?y dy+2xycos(x2 y)ex?y dx +sin(x2 y)ex?y dx?sin(x2 y)ex?y dy = x2 cos(x2 y)x?sin(x2 y) ex?y dy + 2xycos(x2 y)+sin(x2 y) ex?y dx. Correction de l'exercice

2 1. La forme différentielle x2y2dx+x3ydy de degré

1 n'est pas fermée car la forme différentielle de degré

2 d(x2 y2 dx+x3 ydy) = 2x2 ydydx+3x2 ydxdy = x2 ydxdy est non nulle. Par conséquent, une fonction g: R2 → R du type cherché ne peut pas exister. 2. Une fonction b du type cherché doit satisfaire à l'équation différentielle partielle 2x2 y? ?b ?x =

0 d'où b(x,y) =

2 3 x3y + k(y) où k est une fonction de la variable y. Une fonction g correspondante doit alors satisfaire aux équations différentielles partielles ?g ?x = x2 y2 , ?g ?y =

2 3 x3 y+k(y). Il s'ensuit que g est de la forme g(x,y) =

1 3 x3y2 +K(y) où K est une fonction de la varriable y. Correction de l'exercice

3 1. Un calcul immédiat donne du+dv = dg. 2. Par conséquent, g = u+v+c où la constante c est déterminée par la condition

3 = g(1,1) = u(1,1)+v(1,1)+c = 1+1+c d'où c = 1.

5 3. Un calcul direct montre que l'application réciproque k: R>0 *R>0 ?→ R>0 *R>0 de h est donnée par la formule k(u,v) = (x(u,v),y(u,v)) = u2 v 1/3 , v2 u 1/3 . 4. d(g?k) = d(u?k)+d(v?k) = du+dv car u(k(u,v)) = u et v(k(u,v)) = v. 5. Un calcul immédiat donne Jh = 2xy x2 y2 2xy , Jk =

2 3(uv)?1/3 ? u2/3 3v4/3 ? v2/3 3u4/3

2 3 (uv)?1/3 d'où Jh(x,y)Jk(h(x,y)) = I2. Correction de l'exercice

4 dsin(xyz) = yzcos(xyz)dx+zxcos(xyz)dy+xycos(xyz)dz d'où la matrice hessienne ?y2z2 sin(xyz) zcos(xyz)?xyz2 sin(xyz) ycos(xyz)?xy2zsin(xyz) zcos(xyz)?xyz2 sin(xyz) ?x2z2 sin(xyz) xcos(xyz)?x2yzsin(xyz) ycos(xyz)?xy2zsin(xyz) ycos(xyz)?x2yzsin(xyz) ?x2y2 sin(xyz) . De même d(sin2 (y/x)) = ?2yx?2 sin(y/x)cos(y/x)dx+2x?1 sin(y/x)cos(y/x)dy = sin(2y/x) ? y x2 dx+

1 x dy d'où la matrice hessienne 2yx?3 sin(2y/x)+2y2x?4 cos(2y/x) ?x?2 sin(2y/x)?2yx?3 cos(2y/x) ?x?2 sin(2y/x)?2yx?3 cos(2y/x) 2x?2 cos(2y/x) . Correction de l'exercice

5 1. ? ?r r?F ?r = ?F ?r +r?2F ?r2 2. ?F ?r = ? f ?x x r + ? f ?y y r 3. ?F ?θ = ? f ?x ?x ?θ + ? f ?y ?y ?θ = ?y? f ?x +x? f ?y 4. En prenant la somme des trois équations suivantes r2 ?2F ?r2 = x2 ?2 f ?x2 +2xy ?2 f ?x?y +y2 ?2 f ?y2 r ?F ?r = x ? f ?x +y ? f ?y ?2F ?θ2 = x2 ?2 f ?y2 ?2xy ?2 f ?x?y +y2 ?2 f ?x2 ?x ? f ?x ?y ? f ?y on trouve le résultat cherché.

6 Correction de l'exercice

6 1. Avec ? ?u = 1/2( ? ?x + ? ?t ) et ? ?v = 1/2(? ? ?x + ? ?t ) nous obtenons les identités ?F ?u =

1 2 ? f ?x +

1 2 ? f ?t ?F ?v = ?

1 2 ? f ?x +

1 2 ? f ?t ?2F ?u?v = ?

1 4 ?2 f ?x2 +