PDF《Exo7》

1 4 ?2 f ?t2 d'où pour que f satisfasse à l'équation (3) il faut et il suf?t que F satisfasse à l'équation (5). 2. Supposons que F satisfasse à l'équation (5). Alors la fonction ?F ?u est une fonction disons h1 seulement de la variable u et la fonction ?F ?v est une fonction disons h2 seulement de la variable v. Par conséquent, F(u,v) = g1(u)+g2(v) où g1 = h1 et g2 = h2. 3. La solution générale de (3) s'écrit alors f(x,t) = g1(u)+g2(v) = g1(x+t)+g2(t ?x). La fonction g1 décrit une onde qui se déplace vers la droite et la fonction g1 décrit une onde qui se déplace vers la gauche. En?n, pour trouver la solution unique satisfaisant aux condition initiales (4) nous constatons que les conditions initiales entra?nent les identités f(x,0) = g1(x)+g2(?x) = sinx ? f ?x (x,0) = g1(x)?g2(?x) = cosx ? f ?t (x,0) = g1(x)+g2(?x) = ?cosx d'où g1 =

0 et g2(?x) = ?cosx, c.a.d. g2(x) = sin(?x). Par conséquent, la solution unique cherchée f s'écrit f(x,t) = sin(x?t). 7