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第十章 多元函数微分学 一.

设f, g 为连续可微函数, ) ( ) , ( xy x g v xy x f u + = = , , 求xvxu?????.解. y f f x u '

'

2 1 + = ? ? , )

1 ( '

y g x v + = ? ? . 所以 ) '

'

( '

)

1 (

2 1 y f f g y v v x u + + = ? ? ? ? ? 二. 设????????=+yzyzx?22,其中?为可微函数, 求yz??.解. 原式两边对 y 求导.

2 '

2 y z y y z y z y y z y z z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? . 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? y z y yz y z z y z y y z '

2 '

? ? ? 三. 设xuzxttxyzyxfu??===,求 , ,又),(),(),,

(ψ?.解. 由上述表达式可知 x, z 为自变量, 所以 ( ) '

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

x t y x y x x t x y x y x f f f f f x y f f x u ψ ? ? ψ ? ? + + = + + = ? ? + = ? ? 四. 求下列方程所确定函数的全微分: 1. dz x z z y y x f ,求0),,

(=+++;

2. dz y z xz f z ,求,)(?=.解. 1.

0 )

1 ( '

'

'

3 2

1 = ? ? + + ? ? + x z f x z f f , 所以 '

'

'

'

3 2

3 1 f f f f x z + + ? = ? ?

0 )

1 ( '

'

'

2 3

1 = ? ? + + ? ? + y z f y z f f , 所以 '

'

'

'

3 2

2 1 f f f f y z + + ? = ? ? 所以 '

'

) '

'

( ) '

'

(

3 2

2 1

3 1 f f dy f f dx f f dy y z dx x z dz + + + + ? = ? ? + ? ? = -

2 - 2. x z f x z x z f x z ? ? + ? ? + = ? ? '

) ( '

2 1 , 所以 '

'

1 '

2 1

1 f xf zf x z ? ? = ? ? )

1 ( '

'

2 1 ? ? ? + ? ? = ? ? y z f y z x f y z , 所以 '

'

1 '

2 1

2 f xf f y z ? ? ? = ? ? 所以 '

'

1 '

'

2 1

2 1 f xf dy f dx zf dy y z dx x z dz ? ? ? = ? ? + ? ? = 五. 设),sin (

2 2 y x y e f z x + = , 其中 f 具有二阶连续偏导数, 求yxz???2 . 解. ) , sin ( '

2 sin ) , sin ( '

2 2

2 2

2 1 y x y e xf y e y x y e f x z x x x + + + = ? ? ) '

'

2 cos '

'

(

2 '

cos ) '

'

2 cos '

'

( sin

22 12

1 12

11 2 yf y e f x yf e yf y e f y e y x z x x x x + + + + = ? ? ? = y e f xyf f y x y y e x x e f x x x cos '

'

'

4 '

'

) cos sin (

2 cos sin '

'

1 22

12 2

11 + + + + 六. 已知 '

'

'

'

) ,

2 ( yy xx z z y x x f z , ,求=.解. ) ,

2 ( '

1 ) ,

2 ( '

2 '

2 1 y x x f y y x x f zx + = ) '

'

1 , '

'

2 (

1 '

'

2 '

'

4 '

'

22 12

12 11 f y f y f y f zxx + + = = '

'

1 '

'

4 '

4 22

2 12

11 f y f y f + + ) ,

2 ( '

'

2 2 y x x f y x zy ? = '

'

'

2 '

22 4

2 2

3 f y x f y x zyy + = 七. 已知 '

'

, '

'

, '

'

) , ln ( yy xy xx z z z y x y x f z ,求?=.解. ) , ln ( '

) , ln ( '

ln '

2 1 y x y x f y x y x yf zx ? + ? = -

3 - '

'

ln '

'

) '

'

ln '

'

( ln '

'

22 12

12 11 f y f f y f y zxx + + + = = '