PDF《量子力学习题参考解答（七） 张宸 编辑》

量子力学习题参考解答

(七)

1 量子力学习题参考解答

(七) 张宸 编辑 习1类氢原子的价电子处于 的态上.

置于均匀的磁场中( ) ,哈密顿量可表 为(1.1) 其中 (1.2) 的三个本征态为 , 的本征函数为 . 的本征态和 的本征态的乘积 波函数为 (1.3) 证明: (1) (1.4) 其中 是角动量的升、降算符;

是自旋的升、降算符. (2) (1.5) 试给出 (3)试求出 的能量本征值( 和).解: (1) (1.6) (2) (1.7) 量子力学习题参考解答

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2 (1.8) (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) 因此 (1.13) (3)在 这组基下,我们有 (1.14) 立即看出有本征值 .考察 (1.15) 解得 (1.16) 当则(1.17) 量子力学习题参考解答

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3 (1.18) 当则(1.19) (1.20) 继续考察 (1.21) 解得 (1.22) 当则(1.23) (1.24) 当则(1.25) (1.26) 总结起来 时本征值有 (1.27) 时本征值有 (1.28) 习2自旋为 的体系,在 时处于本征值为 的 的本征态,将其置于 的磁场中,求 时刻测量 取 的概率. 解:本征值为 的 的本征态可以取成 (2.1) 量子力学习题参考解答

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4 哈密顿 (2.2) 自旋波函数、薛定谔方程和初始条件分别为 (2.3) 解得 (2.4) 于是 时刻测量 取 的概率为 (2.5) 习3具有同样质量的无相互作用的粒子在宽度为 的无穷深势阱中运动.写出体系最低 的四条能级的能量值及简并度,如果: (1)两个为全同粒子,自旋的量子数为 (2)两个是非全同粒子,自旋的量子数为 (3)两个为全同粒子,自旋的量子数为 解:这里只考虑有质量粒子.用 表示简并度. (1) (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (2) (3.5) (3.6) 量子力学习题参考解答

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5 (3.7) (3.8) (3) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) 习4设有两个全同粒子,处于一维谐振子势场中,彼此间还有与距离成正比的作用力,即 位势为 (4.1) 求体系的能量本征值及本征函数,按波函数的交换对称性分别讨论之. 解: (4.2) 定义新坐标 (4.3) 从而 (4.4) 于是势能可以写成 (4.5) 量子力学习题参考解答

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6 选择 可消去交叉项,这样 (4.6) 哈密顿量 (4.7) 体系的能量本征值 (4.8) 本征函数:注意坐标 关于 交换反称, 关于 交换对称,考虑到玻色子的 波函数的交换对称性,费米子波函数的交换反称性,则对于玻色子,本征波函数为 (4.9) 对于费米子,本征波函数为 (4.10) 其中 (4.11) 习5设一体系未受微扰作用时只有两个能级: 及 .现在受到微扰 的作用,微扰 矩阵元为 , 都是实数,用微扰公式求能量至二级修正 值. 量子力学习题参考解答

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7 解:在非简并态微扰论中,到二级近似,能量修正公式为 (5.1) 其中 表示求和时舍弃 的项.按上式我们可以立即写出 (5.2) (5.3) 习6质量为 的粒子运动于一维谐振子势 (6.1) 中,加上一个小的微扰项 (6.2) (1)试求一级,二级微扰能量;

(2)与精确结果比较. 解:记.的本征值记为 ,则(6.3) 利用 (6.4) 可得在 表象中, 的矩阵元中不等于 的类型为 (6.5) 因此,不等于 的微扰矩阵元有下列类型: (6.6) (6.7) 量子力学习题参考解答

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8 能级 的各级微扰修正为 (6.8) (6.9) 若精确求解,则(6.10) 习7设在 表象中, 矩阵表示为 (7.1) 试用微扰论求能量的二级修正. (对于简并能级求能量的一级修正. ) 解:在 表象中, 矩阵表示为 (7.2) 下面分非简并与简并情形讨论. 对于非简并情形,能量的一级修正显然为零.二级修正 (7.3) (7.4) (7.5) 对于简并情形,又分若干情况. 第一种: ,这时有久期方程 (7.6) 即 量子力学习题参考解答